動態規劃（Dynamic Programming）

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理解動態規劃的好文：https://www.sohu.com/a/153858619_466939

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1、基礎

**定義：**遞歸算法經常會有一些重復的計算，導致程序效率低。動態規劃就是解決這個問題的方法。

動態規劃的組成部分：

• 最優子結構：分解問題
• 邊界：遞歸的終止條件
• 狀態轉移方程：遞歸的方程

動態規劃的解題步驟：

• 分解問題，得到狀態轉移方程
• 暴力搜索，找到冗余，通常用純遞歸
• 存儲已經計算過的結果，通常用數組和字典
• 編程時通常采用自底向上思想（遞推）

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2、走臺階問題

**題目：**有一座10級臺階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級臺階。要求用程序來求出一共有多少種走法。

遞歸解法：

int solve(int n) {if(n < 1)return 0;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;return solve(n-1)+solve(n-2); }

備忘錄解法：

int solve(int n，HashMap<Interger, Interger>map) {if(n < 1)return 0;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;if(map.contains(n))return map.get(n);else{int value = solve(n-1)+solve(n-2);map.put(n, value);return value;} }

動態規劃解法：

int solve(int n，HashMap<Interger, Interger>map) {if(n < 1)return 0;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;int a = 1;int b = 2:int temp = 0;for(int i=3; i<=n; i++){temp = a + b;a = b;b = temp;}return temp; }

題目改為一次最多能走k階臺階

思路：其實是一樣的，只要把邊界和遞歸式擴展到 k 即可

// 邊界條件, 轉化為總共 k 階臺階，可以任意走，到達k階有2^(k-1)種走法 num[0] = 1 for(int i=1; i =< k; ++i)num[i] = power(2, i-1);// 遞推 for(int j = k+1; j<n+1; ++j) {z = 1;while(z < k){num[j] += num[j-z];z += 1;} }

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3、打家劫舍問題

**題目：**偷商店，不能連續偷兩家，求偷的總額最大

備忘錄解法：

vector<int> save; int solve(vector<int>& nums, int n) {if(n < 0)return 0;if(save[n] >= 0)return save[n];save[n] = max(solve(nums, n-2)+nums[n], solve(nums, n-1));return save[n]; } int rob(vector<int>& nums) {int len = nums.size();for(int i=0; i<len; i++)save.push_back(-1);return solve(nums, len-1); }

動態規劃解法：

int rob(vector<int>& nums) {int n = nums.size(); if(n == 0)return 0;if(n == 1)return nums[0];vector<int> save(n, -1);save[0] = nums[0];save[1] = max(nums[0], nums[1]);for(int i=2; i<n; ++i)save[i] = max(nums[i]+save[i-2], save[i-1]);return save[n-1];

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4、01背包問題

題目： 給定 n 種物品和一個容量為 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi ，應該如何選擇裝入背包的物品，使得裝入背包中的物品的總價值最大？

// 下標為0的元素，沒有用到，置為0 int v[N]={0,8,10,6,3,7,2}; int w[N]={0,4,6,2,2,5,1}; int n=6,c=12;int solve() {// 需要知道的初始值是 m[i][0]，m[0][j] 都等于0，所以數組都初始化為0int m[n+1][c+1] = {0};for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=c;j++){if(j>=w[i])m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); elsem[i][j]=m[i-1][j];}}return m[n][c]

可以進一步壓縮空間，只用2x(c+1)或1x(c+1)大小的數組：

# 2x(c+1)數組 int m[2][c+1] = {0}; m[i%2][j]=max(m[(i-1)%2][j],m[(i-1)%2][j-w[i]]+v[i]); # 1x(c+1)大小的數組 int m[c+1] = {0}; m[j]=max(m[j],m[j-w[i]]+v[i]);

5、硬幣找零

題目： 硬幣的種類值列表 coin_list，要找零錢 change 元，問最少需要幾個硬幣？

遞歸解法：

def find_coins(coin_list, change):min_coins = changeif change in coin_list:return 1else:for i in [c for c in coin_list if c <= change]:num_coins = 1 + find_coins(coin_list, change-i)if num_coins < min_coins:min_coins = num_coinsreturn min_coinsprint(recDC([1,5,10,25], 63)

備忘錄解法：

# save_list 緩存已經算過的零錢最少找幣數，列表大小=最初需要找零的值+1，初始值都=0 def find_coins(coin_list, change, save_list):min_coins = changeif change in coin_list:return 1elif save_list[change] > 0:return save_list[change]else:for i in [c for c in coin_list if c <= change]:num_coins = 1 + find_coins(coin_list, change-i, save_list)if num_coins < min_coins:min_coins = num_coinssave_list[change] = min_coinsreturn min_coinsprint(recDC([1,5,10,25], 63, [0]*64))

動態規劃解法：

# 遞推 def find_coins(coins_list, change, min_coins_list):for num in range(change+1):num_coins = numfor j in [c for c in coins_list if c <= num]:if min_coins_list[num-j] + 1 <= num_coins:num_coins = min_coins_list[num-j]+1min_coins_list[num] = num_coinsreturn min_coins_list[change]print(find_coins([1, 5, 10, 25], 63, [0]*64))

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GOOD LUCK!

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构与算法（C++）– 动态规划（Dynamic Programming）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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