上篇博文我們簡單的討論了離散傅里葉級數DFS和離散傅里葉變換DFT之間的關系，簡單地說，DFT就是DFS在一個周期內的表現。

為了后面討論方便，這里給出DFS的系數公式(分析公式)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)

其中：

綜合公式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(2)

為了對比，給出DFT的分析公式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?(4)

綜合公式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (5)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??(6)

下面討論DFS和 z 變換之間的關系：

設 x(n) 為一有限長序列，長度為N，即，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (7)

那么，能求它的 z 變換為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(8)

現在，以周期N，周期重復x(n)構造一個周期序列

，即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (9)

?的DFS給出為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(10)

將(10)式與 z 正變換公式(8)比較后，得到：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (11)

這就是說，DFS

代表了z變換 X(z)在單位圓上N個等間隔樣本。

接著討論DFS和DTFT的關系。

我們大概都知道DTFT和z變換之間的關系，DTFT是單位圓上的z變換。我們通過一個公式就能說清楚，如下：

先給出DTFT的公式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(12)

對比z變換的公式(8)，不難看出：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(13)

為了避免某些人的抗議，我們不得不做出聲明，這里都是針對有限長序列推導的公式，無論針對其他任何可行信號，推導的關系最后都是一樣的。

從(13)式可以看出，DTFT是單位圓上的z變換。

上面又說了DFS和z變換的關系，關系是，DFS

代表了z變換 X(z)在單位圓上N個等間隔樣本。

結合z變換和DTFT之間的關系，我們是不是可以說DFS

是對DTFT?

上的等間隔采樣。采樣間隔為

，下面我們正式推導二者間的關系。

式(12)為:

DFS為：

可以看出，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(14)

令

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (15)

這樣，

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(16)

這意味著 DFS 可以通過以

為間隔對DTFT均勻采樣而得到。

由式子(13)：

以及式子(14)：

可見，DFS 表示給出了一種在頻域的采樣機理；而這個在原理上類似于時域采樣。

間隔

?是在頻域上的采樣間隔，也稱為頻率分辨率。因為它告訴我們頻率樣本有多密集。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的matlab表示DFT和DTFT,【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间的关系...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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