上一節介紹了求最小生成樹之普里姆算法。該算法從頂點的角度為出發點，時間復雜度為O(n²)，更適合與解決邊的綢密度更高的連通網。本節所介紹的克魯斯卡爾算法，從邊的角度求網的最小生成樹，時間復雜度為O(eloge)。和普里姆算法恰恰相反，更適合于求邊稀疏的網的最小生成樹。對于任意一個連通網的最小生成樹來說，在要求總的權值最小的情況下，最直接的想法就是將連通網中的所有邊按照權值大小進行升序排序，從小到大依次選擇。由于最小生成樹本身是一棵生成樹，所以需要時刻滿足以下兩點：

• 生成樹中任意頂點之間有且僅有一條通路，也就是說，生成樹中不能存在回路；

• 對于具有 n 個頂點的連通網，其生成樹中只能有 n-1 條邊，這 n-1 條邊連通著 n 個頂點。

連接 n 個頂點在不產生回路的情況下，只需要 n-1 條邊。

所以克魯斯卡爾算法的具體思路是：將所有邊按照權值的大小進行升序排序，然后從小到大一一判斷，條件為：如果這個邊不會與之前選擇的所有邊組成回路，就可以作為最小生成樹的一部分；反之，舍去。直到具有 n 個頂點的連通網篩選出來 n-1 條邊為止。篩選出來的邊和所有的頂點構成此連通網的最小生成樹。

判斷是否會產生回路的方法為：在初始狀態下給每個頂點賦予不同的標記，對于遍歷過程的每條邊，其都有兩個頂點，判斷這兩個頂點的標記是否一致，如果一致，說明它們本身就處在一棵樹中，如果繼續連接就會產生回路；如果不一致，說明它們之間還沒有任何關系，可以連接。

假設遍歷到一條由頂點 A 和 B 構成的邊，而頂點 A 和頂點 B 標記不同，此時不僅需要將頂點 A 的標記更新為頂點 B 的標記，還需要更改所有和頂點 A 標記相同的頂點的標記，全部改為頂點 B 的標記。

圖 1 連通網

例如，使用克魯斯卡爾算法找圖 1 的最小生成樹的過程為：首先，在初始狀態下，對各頂點賦予不同的標記(用顏色區別)，如下圖所示：

(1)

對所有邊按照權值的大小進行排序，按照從小到大的順序進行判斷，首先是(1，3)，由于頂點 1 和頂點 3 標記不同，所以可以構成生成樹的一部分，遍歷所有頂點，將與頂點 3 標記相同的全部更改為頂點 1 的標記，如(2)所示：

(2)

其次是(4，6)邊，兩頂點標記不同，所以可以構成生成樹的一部分，更新所有頂點的標記為：

(3)

其次是(2，5)邊，兩頂點標記不同，可以構成生成樹的一部分，更新所有頂點的標記為：

(4)

然后最小的是(3，6)邊，兩者標記不同，可以連接，遍歷所有頂點，將與頂點 6 標記相同的所有頂點的標記更改為頂點 1 的標記：

(5)

繼續選擇權值最小的邊，此時會發現，權值為 5 的邊有 3 個，其中(1，4)和(3，4)各自兩頂點的標記一樣，如果連接會產生回路，所以舍去，而(2，3)標記不一樣，可以選擇，將所有與頂點 2 標記相同的頂點的標記全部改為同頂點 3 相同的標記：

(6)

當選取的邊的數量相比與頂點的數量小 1 時，說明最小生成樹已經生成。所以最終采用克魯斯卡爾算法得到的最小生成樹為(6)所示。實現代碼：

#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#define MAX_VERtEX_NUM 20#define VertexType inttypedef struct edge{ VertexType initial; VertexType end; VertexType weight;}edge[MAX_VERtEX_NUM];//定義輔助數組typedef struct { VertexType value;//頂點數據 int sign;//每個頂點所屬的集合}assist[MAX_VERtEX_NUM];assist assists;//qsort排序函數中使用，使edges結構體中的邊按照權值大小升序排序int cmp(const void *a,const void*b){ return ((struct edge*)a)->weight-((struct edge*)b)->weight;}//初始化連通網void CreateUDN(edge *edges,int *vexnum,int *arcnum){ printf("輸入連通網的邊數：\n"); scanf("%d %d",&(*vexnum),&(*arcnum)); printf("輸入連通網的頂點：\n"); for (int i=0; i scanf("%d",&(assists[i].value)); assists[i].sign=i; } printf("輸入各邊的起始點和終點及權重：\n"); for (int i=0 ; i scanf("%d,%d,%d",&(*edges)[i].initial,&(*edges)[i].end,&(*edges)[i].weight); }}//在assists數組中找到頂點point對應的位置下標int Locatevex(int vexnum,int point){ for (int i=0; i if (assists[i].value==point) { return i; } } return -1;}int main(){ int arcnum,vexnum; edge edges; CreateUDN(&edges,&vexnum,&arcnum); //對連通網中的所有邊進行升序排序，結果仍保存在edges數組中 qsort(edges, arcnum, sizeof(edges[0]), cmp); //創建一個空的結構體數組，用于存放最小生成樹 edge minTree; //設置一個用于記錄最小生成樹中邊的數量的常量 int num=0; //遍歷所有的邊 for (int i=0; i //找到邊的起始頂點和結束頂點在數組assists中的位置 int initial=Locatevex(vexnum, edges[i].initial); int end=Locatevex(vexnum, edges[i].end); //如果頂點位置存在且頂點的標記不同，說明不在一個集合中，不會產生回路 if (initial!=-1&& end!=-1&&assists[initial].sign!=assists[end].sign) { //記錄該邊，作為最小生成樹的組成部分 minTree[num]=edges[i]; //計數+1 num++; //將新加入生成樹的頂點標記全不更改為一樣的 for (int k=0; k if (assists[k].sign==assists[end].sign) { assists[k].sign=assists[initial].sign; } } //如果選擇的邊的數量和頂點數相差1，證明最小生成樹已經形成，退出循環 if (num==vexnum-1) { break; } } } //輸出語句 for (int i=0; i-1; i++) { printf("%d,%d\n",minTree[i].initial,minTree[i].end); } return 0;}

測試數據：

輸入連通網的邊數：
6 10
輸入連通網的頂點：
1
2
3
4
5
6
輸入各邊的起始點和終點及權重：
1,2,6
1,3,1
1,4,5
2,3,5
2,5,3
3,4,5
3,5,6
3,6,4
4,6,2
5,6,61,3
4,6
2,5
3,6
2,3

總結

以上是生活随笔為你收集整理的prim算法求最小生成树_克鲁斯卡尔算法(Kruskal算法)求最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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