歐拉公式

參考Wikipedia，歐拉公式（Euler’s Formula）數學表達式為：
$$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$$$$e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$$
其中，$\phi$為逆時針旋轉的角度。
如下圖所示：

上述公式通過把自然常數和復數（虛數）聯系起來表示，歐拉公式在許多領域具有重要的應用，比如：拉普拉斯變換、傅里葉變換等。那么這個公式中的參數具有什么實際意義？其表達形式又有什么應用背景和直觀理解呢？如何推導呢？

1. 復數$i$

復數基$i$是相對于實數基$1$的垂直的基，我們可以理解為$1$往往在圖紙上記為水平向右的單位向量，$i$往往在圖紙上記為水平向上的單位向量，那么如何從數學模型上進行理解呢？
中學時代學過如下的公式：
$$i^2=?1$$
將此公式進行修改：
$$1?i?i=?1$$$$1?i=i$$$$1=1$$
即將$1$乘過1次$i$之后，相當于逆時針旋轉了$90°$，乘第2次$i$之后，相當于再次逆時針旋轉了$90°$，總共旋轉$180°$，從$1$變成了$?1$。
再思考一步：如果$i$前面帶了系數呢？比如$$1?0.5i?0.5i=?0.25$$
那么可以解釋為：進行了2次逆時針旋轉$90°$的操作，并且每次在旋轉過程中長度縮為上一次的$0.5$倍。
OK，我們知道了$ki$代表逆時針旋轉$90°$，并且長度縮放為k倍。

2. 自然常數$e$

自然常數$e$在中學時代學習過，其大小約為$2.71828$，為什么是這個值呢？這里有一個復利的經典例子，常用來描述$e$的值如何取到：
假設有一個銀行的存款年利率是$100\%$，即$1$元錢存一年可以獲得利息$1$元錢，存半年可以獲得利息$0.5$元錢。那么我們想到，在不存在時間間隔的情況下，我可以隔一段時間連本帶利取出來，瞬間再存進去，比如：

$1$元錢存一年，獲得$2$元；

$1$元錢存半年，獲得$1.5$元，再全部放入，獲得$2.25$元；

$1$元錢每$0.25$年取出存入一次，年底獲得$(1+0.25{)}^4$元；

…

以此類推，分無數次取出存入，年底獲得$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$元，其極限值約為2.71828。

過程如下圖所示：

再討論一步：當年利率不是$100\%$，而是$50\%$，那么最終極限為：
$$\begin{gathered} \underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{0.5}{n}{)}^n= \\ \underset{m\to +\infty }{\lim }(1+\frac{0.5}{0.5m}{)}^{0.5m}= \\ \underset{m\to +\infty }{\lim }{[(1+\frac{1}{m}{)}^m]}^{0.5}=e^{0.5} \end{gathered}$$
那么我們知道了$e^x$代表的是利率為$x$的復利式的無窮次迭代，即每一次都在當前基礎上增長$x/n$倍，重復$n$次（$n$趨于$+\infty$）

3. $e^{i\phi }$

由上面的內容，我們知道了兩點信息：

$i$代表逆時針旋轉$90°$；

$e^x$代表的是利率為$x$的復利式的無窮次迭代，即每一次都在當前基礎上增長$x/n$倍，重復$n$次（$n$趨于$+\infty$）。

那么$e^{i\phi }$代表的是什么呢？
$e^{i\phi }$代表：原始值為$1$，然后每次增長$i\phi /n$倍，意為在上一步向量的基礎上加上$\phi /n$倍長度且逆時針旋轉$90°$的向量（假設$\phi >0$），重復$n$次（$n$趨于$+\infty$）；

接下來是如何計算這樣的結果？
輕輕閉上眼睛，想象這樣的畫面，有一個二維坐標系，一個單純可愛的水平向量從$0$指向$1$，然后垂直于向量向上，在箭頭處加上一個微乎其微的小小小小的小向量，輕輕合成一下，哇，它轉動了！！！然后再加一個垂直的微乎其微的小小小小的小向量，輕輕合成一下，它又轉了！！！然后不斷地轉啊轉，發現就轉了一個圓，但是不管轉多少次，它總有停下來的一天，哦，原來它就是單位圓里面從圓心指向邊的某一點的一個向量。證畢。

要是這樣證明，應該會被老師批到懷疑人生，實際上往往可以采用指數函數、三角函數的泰勒展開，進行推導， 我們此處還按照上面思考的角度以數學語言進行推導：

證明：

長度：無窮次疊加向量之后，最終合成的向量長度為
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{{\phi }^2}{n^2}{)}^{\frac{n}{2}}=1$$

角度：每次旋轉的角度近似為$\frac{\phi }{n}$，那么在旋轉$n$次后，旋轉角度為$\phi$。

即無窮次旋轉之后獲取到的向量為長度為$1$，逆時針角度為$\phi$，這個結論與一開始的歐拉公式圖是相符的，即為$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$。

此次歐拉公式的內容為之后要寫的拉普拉斯變換做準備。
（注：不夠嚴謹的地方望指正，謝謝🐂）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019-10-12 欧拉公式的理解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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