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2019-10-12 拉普拉斯变换的理解

發(fā)布時(shí)間：2025/3/15 编程问答 35 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 2019-10-12 拉普拉斯变换的理解小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

拉普拉斯變換（Laplace transform）屬于線性變換，是在控制領(lǐng)域繞不過(guò)去的積分變換。同時(shí)拉普拉斯變換與傅里葉變換也存在著繞不過(guò)去的關(guān)系。

傅里葉變換、傅里葉級(jí)數(shù)

傅里葉級(jí)數(shù)針對(duì)周期函數(shù)，傅里葉變換是針對(duì)非周期函數(shù)，可以將原函數(shù)展開為三角函數(shù)之和，可以參考傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換，這里對(duì)這種的異同不展開討論，重點(diǎn)對(duì)于傅里葉變換與拉普拉斯變換的異同進(jìn)行討論。
傅里葉變換屬于拉普拉斯變換中的一種情況，是將滿足條件的信號(hào)展開成如下的形式：
$F(ω)=∫?∞∞f(t)e?iwtdtF(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-iwt}\, dt$ 傅里葉逆變換的形式為：
$f(t)=∫?∞∞F(ω)eiwtdwf(t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{iwt}\, dw$
考慮在[自動(dòng)控制原理][03][zhangfan_space]——?dú)W拉公式的理解中對(duì)歐拉公式的解釋，傅里葉變換公式可以寫為：
$F(ω)=∫?∞∞f(t)(cos?wt?isin?wt)dtF(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)(\cos wt-i\sin wt)\, dt$ 這就是傅里葉變換最開始想要從頻域?qū)Ψ侵芷谛盘?hào)進(jìn)行信號(hào)分解的形式。

其中，要進(jìn)行傅里葉變換， $f (x)$ 的充分不必要條件是滿足狄利克雷條件（Dirichlet Conditions）：

在一周期內(nèi)，函數(shù)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；

在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)；

在一周期內(nèi)，信號(hào)是絕對(duì)可積的，即

∫?∞∞∣f(t)∣dt<∞\int_{-\infty}^{\infty} \vert f(t)\vert\, dt<\infty

。

其中，第3個(gè)條件是最難保證的，那么為了利用傅里葉變換，拉普拉斯變換應(yīng)運(yùn)而生。

拉普拉斯變換

為了使傅里葉變換能夠使用，在傅里葉變換中加入了一個(gè)調(diào)節(jié)因子（Adjustment factor） $e?σte^{-\sigma t}$ ，這個(gè)因子的妙處在于它可以在 $t→+∞t\rightarrow+\infty$ 的時(shí)候，使得函數(shù) $e?σtf(t)e^{-\sigma t}f(t)$ 迅速地衰減，從而達(dá)到絕對(duì)可積的目的。

（ $e?σte^{-\sigma t}$ 豬隊(duì)友啊哈哈哈哈，活生生把人家拉下來(lái)）

那么，傅里葉變換變形之后，在 $t$ 的正半軸，就可以進(jìn)行傅里葉變換了，如下所示：
$F(ω)=∫0+∞f(t)e?σte?iwtdt=∫0+∞f(t)e?(σ+iw)tdtF(\omega)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-\sigma t}e^{-iwt}\, dt=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-(\sigma+iw)t}\, dt$

定義： $s=σ+iws=\sigma+iw$
就可以得到： $F(s)=∫0+∞f(t)e?stdtF(s)=\int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-st}\, dt$
這就是拉普拉斯變換。

傅里葉變換和拉普拉斯變換的異同

傅里葉變換：將函數(shù)分解到頻率不同、幅值為1的圓上；
拉普拉斯變換：將函數(shù)分解到頻率、幅值均不同的圓上。

為什么是圓上，參考傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換中對(duì)歐拉公式的分析解釋。

拉普拉斯變換的優(yōu)點(diǎn)

將微分、積分等復(fù)雜形式變?yōu)楹?jiǎn)單的乘、除法，不知道這個(gè)靈感先出現(xiàn)的還是數(shù)學(xué)先推導(dǎo)出來(lái)的。

拉普拉斯變換的常見形式（時(shí)間域-s域）

時(shí)間域S域

$δ(t)\delta(t)$	$1$
$δT(t)=∑n=0∞δ(t?nT)\delta_T(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \delta(t-nT)$	$11?e?Ts\frac{1}{1-e^{-Ts}}$
$1 (t)$	$1s\frac{1}{s}$
$t$	$1s2\frac{1}{s^2}$
$t22\frac{t^2}{2}$	$1s3\frac{1}{s^3}$
$e^{-at}$	$1s+a\frac{1}{s+a}$
$te^{-at}$	$1s+a2\frac{1}{{s+a}^2}$
$e^{-at}-e^{-bt}$	$1s+a?1s+b\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}$
$sin?wt\sin wt$	$ww2+s2\frac{w}{w^2+s^2}$
$cos?wt\cos wt$	$sw2+s2\frac{s}{w^2+s^2}$

參考：https://wenku.baidu.com/view/d32dc14acf84b9d528ea7a33.html
（注：不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤酵刚?#xff0c;謝謝?）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2019-10-12 拉普拉斯变换的理解的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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拉普拉斯

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