概念說明

泛函：存在函數$x(t)$，同時另一函數$J$依賴于函數$x(t)$，表示為$J(x)$，就稱$J(x)$為$x(t)$的泛函。

宗量：$x(t)$為$J(x)$的宗量。

宗量變分：$x(t)$的變分指宗量的微小改變，即$\delta x(t)$，可以任意取值。

泛函的一階變分：宗量改變之后，會引起泛函的改變，就說明泛函$J(x)$是連續(xù)的，此改變量為泛函增量。往往設$J(x)$在$x(t)=x^{?}(t)$處可微，僅利用泛函增量的線性主部，即為一階變分$$\delta J(x^{?},\delta x)=J^{\prime }(x^{?})\delta x$$

固定邊界的泛函極值求解的一般形式

往往泛函極值問題的求解的一般形式是：
$$J={\int }_{t_0}^{t_f}F[x(t),\dot{x}(t),t]\mathrm{d}t$$
假定$x(t)$為一維變量，在$t\in [x(t_0),x(t_f)]$區(qū)間二次可導，在已知起點和終點的情況下，確定使得目標函數$J(x)$達到最小時的$x(t)$的軌跡。

舉個栗子

1. 題目

題目來源：知乎作者：清雅白鹿記
兩點之間直線距離最短？二維平面空間，從坐標原點$(0,0)$到點$(a,b)$的連接曲線是$x=x(t)$，求最短距離和路徑函數。

上圖中直觀來看肯定是紅線最短，但是需要用變分法的思路進行求解。

2. 求解

曲線的弧長微元是$$\mathrm{d}J=\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}t{)}^2}=\sqrt{(\dot{x}{)}^2+1}\mathrm{d}t$$那么總弧長為$$J={\int }_0^a\sqrt{(\dot{x}{)}^2+1}\mathrm{d}t$$邊界條件為$x(0)=0$ 和 $x(a)=b$

變分法求解：
$$J(x)={\int }_0^a\sqrt{({\dot{x}}^{?}(t)+\delta \dot{x}(t){)}^2+1}\mathrm{d}t$$
根據泛函極值存在的必要條件：
$$\delta J=J^{\prime }(x){|}_{x=x^{?}}\delta x=0$$$$\delta J={\int }_0^a\frac{\dot{x}(t)}{\sqrt{1+{\dot{x}}^2(t)}}{|}_{\dot{x}={\dot{x}}^{?}}\delta \dot{x}\mathrm{d}t=0$$
然后利用分部積分，由于在起點和終點，$\delta x$均為0，所以上式變?yōu)?#xff1a;
$$\delta J=?{\int }_0^a\delta x\mathrm{d}\frac{\dot{x}(t)}{\sqrt{1+{\dot{x}}^2(t)}}{|}_{\dot{x}={\dot{x}}^{?}}=0$$
由于$\delta x$可以任意取值，因此
$$\frac{{\dot{x}}^{?}(t)}{\sqrt{1+{\dot{x}}^{?2}(t)}}=c_1$$
在實數范圍內可以計算出
$${\dot{x}}^{?}(t)=c_2$$
則
$$x^{?}(t)=c_{2}t+c_3$$
帶入邊界條件$x(0)=0$ 和 $x(a)=b$
則有$$x^{?}(t)=\frac{b}{a}t$$
最小長度$$J=\sqrt{a^2+b^2}$$

結論

當無約束的泛函極值問題的求解的形式是：
$$J={\int }_{t_0}^{t_f}F[x(t),\dot{x}(t),t]\mathrm{d}t$$
假定$x(t)$為一維變量，在$t\in [x(t_0),x(t_f)]$區(qū)間二次可導，在已知起點和終點的情況下，確定使得目標函數$J(x)$達到最小時的$x(t)$的軌跡。

解為：
$$\frac{?F[x^{?},{\dot{x}}^{?},t]}{?x}?\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\frac{?F[x^{?},{\dot{x}}^{?},t]}{?\dot{x}}]=0$$
（注：不夠嚴謹的地方望指正，謝謝?）

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019-10-14 无约束条件的泛函极值问题的举例说明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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