• 若方陣$\mathbf{A}$為奇異，則存在某個非零$n$維常值列向量$\mathbf{\alpha }$，使得${\mathbf{\alpha }}^T\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=0$
• 若存在${\mathbf{\alpha }}_{1\times n}{\mathbf{Q}}_{n\times m}=0$，當${\mathbf{\alpha }}_{1\times n}=0$，則可以得出${\mathbf{Q}}_{n\times m}$為行線性相關，即$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{\mathbf{Q}}_{n\times m}<n$；反之，若${\mathbf{Q}}_{n\times m}$為行線性相關，則存在非零常數行向量${\mathbf{\alpha }}_{1\times n}$，使得${\mathbf{\alpha }}_{1\times n}{\mathbf{Q}}_{n\times m}=0$
• $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathbf{A}+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathbf{B}$
• $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}\mathbf{B})\le \min (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathbf{A},\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathbf{B})$
• 若$\mathbf{P}$、$\mathbf{Q}$可逆，$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{P}\mathbf{A})=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}\mathbf{Q})=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A})$，是因為可逆陣是滿秩的，均等價于單位陣，即由單位陣初等變換而來，所以不改變$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A})$
• $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}({\mathbf{A}}_{n\times m}{\mathbf{B}}_{m\times l})\ge \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathbf{A}+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathbf{B}?m$（即將$\mathbf{A}$的$m$個列線性組合$l$次）
• 當${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}=0$有非零解 等價于 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A})<n$（即$\mathbf{A}$的各個列是線性相關的）
• 當${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}=\mathbf{b}$有解 等價于 $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A})=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A},\mathbf{b})$
• 列滿秩$\mathbf{N}$，對稱正定陣$\mathbf{A}$，則${\mathbf{N}}^T\mathbf{A}\mathbf{N}$為對稱正定
• 設${\mathbf{A}}_{m\times n}$的秩為$n$，則${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}$是正定對稱陣（用正定二次型的定義證明：${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}$表示$\mathbf{A}$的各個列的線性組合，當其線性無關時，只有當$\mathbf{x}=0$，乘積才會為$0$，因此列滿秩時，只要$\mathbf{x}=0$，乘積就不會是$0$，二次型為$f={\mathbf{x}}^T{\mathbf{A}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}=(\mathbf{A}\mathbf{x}{)}^T\mathbf{A}\mathbf{x}>0$）
• 對稱正定*對稱正定的乘積的特征值均正
• 任意矩陣左乘列滿秩或者右乘行滿秩，不改變原來的秩（設${\mathbf{A}}_{m\times n}$的秩為$n$，對于${\mathbf{B}}_{n\times l}$，則有， $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}\mathbf{B})\ge \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}({\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{B})=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{B})$，同時$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}\mathbf{B})\le \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{B})$，即$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\mathbf{B})$，任意矩陣左乘列滿秩不改變原來的秩）
• 如果$\mathbf{A}\mathbf{B}$是滿秩的，則前一個是行滿秩，后一個是列滿秩。
• 設${\mathbf{A}}_{m\times n}$和${\mathbf{B}}_{n\times m}$，$\mathbf{A}\mathbf{B}$和$\mathbf{A}\mathbf{B}$具有相同的非零特征值，證明.

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019-11-10 秩和奇异的一些概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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