等價

設$m\times n$階矩陣$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$，如果這兩個矩陣滿足
$$\mathbf{B}=\mathbf{Q}\mathbf{A}\mathbf{P}$$其中，$\mathbf{Q}$是m×m階可逆矩陣，$\mathbf{P}$是n×n階可逆矩陣，即$\mathbf{A}?\mathbf{B}$，那么這兩個矩陣之間是等價關系。也就是說，存在可逆矩陣，使得$\mathbf{A}$經過有限次的初等變換得到$\mathbf{B}$。
其性質為：

• $\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$秩相同，即初等變換不改變秩
• 相似和合同均屬于等價的特殊形式
• 設$\mathbf{A}$是$n$階滿秩矩陣，則有$\mathbf{A}?\mathbf{E}$（即${\mathbf{A}}^{?1}$和$\mathbf{A}$均是有限次的初等變換矩陣相乘得到，均等價于單位陣）
• 兩個$m\times n$階矩陣等價的充要條件是秩相同

相似

設$\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$都是$n$階方陣，若存在$n$階可逆陣$\mathbf{P}$（不唯一且有可能是復矩陣），使
$${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$則稱矩陣$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$相似，記為$\mathbf{A}～\mathbf{B}$。
其性質為：

• $\det (\mathbf{A}?\lambda \mathbf{E})=\det (\mathbf{B}?\lambda \mathbf{E})$，即特征值相同（但是反之不行，即特征值相同推不出相似）
• $\det \mathbf{A}=\det \mathbf{B}$，即行列式相同（因為行列式是所有特征值的乘積，特征值不變，則行列式不變）
• 若$\mathbf{A}$可逆，則$\mathbf{B}$也可逆，且${\mathbf{A}}^{?1}～{\mathbf{B}}^{?1}$
• $f(\mathbf{A})～f(\mathbf{B})$
• $n$階方陣$\mathbf{A}$可對角化的充要條件是$\mathbf{A}$有n個線性無關的特征向量（特征值互不相同，則特征向量線性無關；但是特征向量線性無關不能說特征值互不相同；則若所有特征值不同，則可對角化；若所有重特征根對應的特征向量無關，可對角化）

合同

設$\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$都是$n$階方陣，若存在$n$階可逆陣$\mathbf{P}$，使
$${\mathbf{P}}^T\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$則稱矩陣$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$合同，記為$\mathbf{A}?\mathbf{B}$。
性質為：

• 合同且均對稱，則秩相同
• 合同與相似是兩個概念，合同不能保證特征值不變

相關概念

正交矩陣

如果$n$階實方陣$\mathbf{A}$滿足$${\mathbf{A}}^T={\mathbf{A}}^{?1}$$則稱$\mathbf{A}$為正交矩陣
性質為：

• $\det \mathbf{A}=\pm 1$
• 實對稱$\mathbf{A}$是正交矩陣的充要條件是$\mathbf{A}$的行向量是單位正交向量組（這樣會自動保證列向量是單位正交向量組，反之亦然）
• $\Vert {\mathbf{A}}^{T}x{\Vert }_2=\Vert x{\Vert }_2$
• $\Vert {\mathbf{A}}^T{\Vert }_1\Vert \mathbf{A}{\Vert }_1?3$
  proof: $(a+b+c)(d+e+h)?\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+h^2)=3$

實對稱陣的相似矩陣

設$\mathbf{A}$是$n$階實對稱方陣，則必存在正交矩陣$\mathbf{Q}$，使得
$${\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^T\mathbf{A}\mathbf{Q}=\text{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n\}$$

• 實對稱陣（${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$）的特征值均為實數
• 實對稱陣的兩個不等特征值對應的兩個特征向量正交
• 實對稱陣可能存在重特征值，也可能不存在沖特征值
• 實對稱陣重特征根對應的特征向量無關
• 實對稱陣必可以對角化
• 二次型中的$\mathbf{A}$為實對稱陣

行列式

• $\det (l\mathbf{A})=l^n\mathbf{A}$
• $\det (\mathbf{A}\mathbf{B})=\det \mathbf{A}\det \mathbf{B}$

對稱

• 反對稱矩陣的主對角線一定為0
• 對稱 * 對稱，不能保證對稱（除非$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$）
• 對稱正定 * 對稱正定，不能保證對稱，所以不能叫正定（除非$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$，其乘積才是對稱正定）
• 對稱正定 * 對稱正定，乘積的特征值均正（Cholesky分解為可逆下三角與其轉置的乘積）

特征值

• $\mathbf{A}+\mathbf{E}$的特征值等于=$\mathbf{A}$的特征值加1

問題

兩個特征值均正的矩陣相乘，其乘積的特征值均正嗎？

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019-11-10 等价、相似、合同的一些概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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