等價(jià)

設(shè)$m\times n$階矩陣$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$，如果這兩個(gè)矩陣滿足
$$\mathbf{B}=\mathbf{Q}\mathbf{A}\mathbf{P}$$其中，$\mathbf{Q}$是m×m階可逆矩陣，$\mathbf{P}$是n×n階可逆矩陣，即$\mathbf{A}?\mathbf{B}$，那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說，存在可逆矩陣，使得$\mathbf{A}$經(jīng)過有限次的初等變換得到$\mathbf{B}$。
其性質(zhì)為：

• $\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$秩相同，即初等變換不改變秩
• 相似和合同均屬于等價(jià)的特殊形式
• 設(shè)$\mathbf{A}$是$n$階滿秩矩陣，則有$\mathbf{A}?\mathbf{E}$（即${\mathbf{A}}^{?1}$和$\mathbf{A}$均是有限次的初等變換矩陣相乘得到，均等價(jià)于單位陣）
• 兩個(gè)$m\times n$階矩陣等價(jià)的充要條件是秩相同

相似

設(shè)$\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$都是$n$階方陣，若存在$n$階可逆陣$\mathbf{P}$（不唯一且有可能是復(fù)矩陣），使
$${\mathbf{P}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$則稱矩陣$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$相似，記為$\mathbf{A}～\mathbf{B}$。
其性質(zhì)為：

• $\det (\mathbf{A}?\lambda \mathbf{E})=\det (\mathbf{B}?\lambda \mathbf{E})$，即特征值相同（但是反之不行，即特征值相同推不出相似）
• $\det \mathbf{A}=\det \mathbf{B}$，即行列式相同（因?yàn)樾辛惺绞撬刑卣髦档某朔e，特征值不變，則行列式不變）
• 若$\mathbf{A}$可逆，則$\mathbf{B}$也可逆，且${\mathbf{A}}^{?1}～{\mathbf{B}}^{?1}$
• $f(\mathbf{A})～f(\mathbf{B})$
• $n$階方陣$\mathbf{A}$可對(duì)角化的充要條件是$\mathbf{A}$有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（特征值互不相同，則特征向量線性無(wú)關(guān)；但是特征向量線性無(wú)關(guān)不能說特征值互不相同；則若所有特征值不同，則可對(duì)角化；若所有重特征根對(duì)應(yīng)的特征向量無(wú)關(guān)，可對(duì)角化）

合同

設(shè)$\mathbf{A}$，$\mathbf{B}$都是$n$階方陣，若存在$n$階可逆陣$\mathbf{P}$，使
$${\mathbf{P}}^T\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$$則稱矩陣$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$合同，記為$\mathbf{A}?\mathbf{B}$。
性質(zhì)為：

• 合同且均對(duì)稱，則秩相同
• 合同與相似是兩個(gè)概念，合同不能保證特征值不變

相關(guān)概念

正交矩陣

如果$n$階實(shí)方陣$\mathbf{A}$滿足$${\mathbf{A}}^T={\mathbf{A}}^{?1}$$則稱$\mathbf{A}$為正交矩陣
性質(zhì)為：

• $\det \mathbf{A}=\pm 1$
• 實(shí)對(duì)稱$\mathbf{A}$是正交矩陣的充要條件是$\mathbf{A}$的行向量是單位正交向量組（這樣會(huì)自動(dòng)保證列向量是單位正交向量組，反之亦然）
• $\Vert {\mathbf{A}}^{T}x{\Vert }_2=\Vert x{\Vert }_2$
• $\Vert {\mathbf{A}}^T{\Vert }_1\Vert \mathbf{A}{\Vert }_1?3$
  proof: $(a+b+c)(d+e+h)?\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+h^2)=3$

實(shí)對(duì)稱陣的相似矩陣

設(shè)$\mathbf{A}$是$n$階實(shí)對(duì)稱方陣，則必存在正交矩陣$\mathbf{Q}$，使得
$${\mathbf{Q}}^{?1}\mathbf{A}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}^T\mathbf{A}\mathbf{Q}=\text{diag}\{{\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n\}$$

• 實(shí)對(duì)稱陣（${\mathbf{A}}^T=\mathbf{A}$）的特征值均為實(shí)數(shù)
• 實(shí)對(duì)稱陣的兩個(gè)不等特征值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征向量正交
• 實(shí)對(duì)稱陣可能存在重特征值，也可能不存在沖特征值
• 實(shí)對(duì)稱陣重特征根對(duì)應(yīng)的特征向量無(wú)關(guān)
• 實(shí)對(duì)稱陣必可以對(duì)角化
• 二次型中的$\mathbf{A}$為實(shí)對(duì)稱陣

行列式

• $\det (l\mathbf{A})=l^n\mathbf{A}$
• $\det (\mathbf{A}\mathbf{B})=\det \mathbf{A}\det \mathbf{B}$

對(duì)稱

• 反對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線一定為0
• 對(duì)稱 * 對(duì)稱，不能保證對(duì)稱（除非$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$）
• 對(duì)稱正定 * 對(duì)稱正定，不能保證對(duì)稱，所以不能叫正定（除非$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$，其乘積才是對(duì)稱正定）
• 對(duì)稱正定 * 對(duì)稱正定，乘積的特征值均正（Cholesky分解為可逆下三角與其轉(zhuǎn)置的乘積）

特征值

• $\mathbf{A}+\mathbf{E}$的特征值等于=$\mathbf{A}$的特征值加1

問題

兩個(gè)特征值均正的矩陣相乘，其乘積的特征值均正嗎？

與50位技術(shù)專家面對(duì)面20年技術(shù)見證，附贈(zèng)技術(shù)全景圖

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2019-11-10 等价、相似、合同的一些概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。