概念

1. 正定一定對稱，對稱不一定正定
2. 特征值均為正，不能說此矩陣為正定陣，必須同時滿足對稱才能叫正定陣
3. 正定陣一定是對稱的，可逆的，非奇異，滿秩的（正定陣一定對稱，且特征值均正，對稱陣相似于對角陣，因此正定陣相似于主對角線均正的對角陣，因此可逆）
4. 正定陣的對角線元素一定大于0，但其他元素不一定大于0
5. 正定陣的2范數，是它的最大特征值
6. 兩個正定陣的乘積不一定是正定陣，因為對稱乘對稱不一定對稱，只有滿足 $AB=BA$ 時，兩個正定陣的乘積才是正定陣
7. 一個正定陣一定可以表示成2個正定陣的乘積

正定二次型的概念

設有$n$元實二次型$f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，如果對任意的$\mathbf{x}=0$都有：

$f>0$，則稱$f$為正定二次型，并稱實對稱矩陣$\mathbf{A}$為正定矩陣；

$f<0$，則稱$f$為負定二次型，并稱實對稱矩陣$\mathbf{A}$為負定矩陣；

$f\ge 0$，則稱$f$為半正定二次型，并稱實對稱矩陣$\mathbf{A}$為半正定矩陣；

$f\le 0$，則稱$f$為半負定二次型，并稱實對稱矩陣$\mathbf{A}$為半負定矩陣；

既不滿足3，又不滿足4，則稱$f$為不定二次型，并稱實對稱矩陣$\mathbf{A}$為不定矩陣；

結論

從二次型的概念中看出，正定、負定、半正定、半負定、不定矩陣均是在實對稱矩陣的基礎上進行定義的，因此只要講正定、負定、半正定、半負定、不定矩陣，便默認其為實對稱矩陣。

另外，不對稱的矩陣的特征值也可能全正，但是因為不是對稱陣，只能叫“特征值全為正的矩陣”，而不能叫正定陣。

反對稱陣的二次型一定是0，而任意方陣都能寫成一個對稱陣和一個反對稱陣的和，所以把正定陣的定義推廣到一般方陣是沒意義的。

正定矩陣的順序主子式，任意主子式都是正的。

參考文獻：
https://wenku.baidu.com/view/d970b3641eb91a37f1115c3f.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2019-11-09 正定矩阵的一些常见概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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