內模原理（The Internal Mode Principle，IMP）

在這份講義中，我們將熟悉內模原理的概念。“內模原理在調節器問題中起到至關重要的作用。內模原理可以直觀地表達為：任何一個好的調節器都必須在閉環系統中構造一個環境動態結構的模型”。
接下來，我們考慮圖1中的閉環系統的結構框圖。利用框圖基本方法可以得到

(圖1)
$$\begin{array}{rl}E(s)& =R(s)?G_p(s)G_c(s)E(s)\\ & =\frac{1}{1+G_p(s)G_c(s)}R(s)\end{array}$$

簡單變換之后，可以得到

$$E(s)=\frac{D_p(s)D_c(s)}{D_p(s)D_c(s)+N_p(s)N_c(s)}\frac{N_r(s)}{D_r(s)}$$
我們的目標是，設計一個控制器$G_c(s)=\frac{N_c(s)}{D_c(s)}$使得
$$\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=\underset{t\to \infty }{\lim }(r(t)?c(t))=0$$
其中，$e(t)$是$e(s)$的拉普拉斯逆變換。

假設參考信號$r(t)$的拉普拉斯變換極點在右半平面上，即它們屬于集合$\{s:?(s)\ge 0\}$。那么多項式
$$P_c(s)=D_p(s)D_c(s)+N_p(s)N_c(s)$$
是圖1中閉環系統的閉環特征多項式，閉環特征多項式零點就是閉環系統的極點。
下面的結論就是所謂的“內模原理：”：

在圖1所示的構型中，$R(s)$的極點是在右半平面，那么$$\underset{t\to \infty }{\lim }e(t)=0$$的充要條件是：

閉環極點位于開左半平面；

我們把$D_r(s)$叫做開環多項式$D_p(s)D_c(s)$的因子，也就是說，存在一個多項式$Q(s)$，使得$D_p(s)D_c(s)=Q(s)D_r(s)$。

IMP的第二個條件是指，跟蹤控制器的選擇必須使開環傳遞函數$G_p(s)G_c(s)$包含要跟蹤的參考信號的模型。如果$R(s)$的極點不是系統的傳遞函數$G_p(s)$的極點，那么我們可以將IMP重寫為：

任何好的跟蹤控制器都必須穩定閉環系統，并且必須包含參考信號的模型。

接下來舉兩個例子，以便更好地理解IMP。

Example 1

(圖2)
對于圖2所示的閉環系統，我們的目標是構造一個傳遞函數$G_c(s)$，使${\lim }_{t\to \infty }e(t)=0$。誤差的拉普拉斯變換是
$$E(s)=\frac{1}{1+\frac{1}{s+2}\frac{N_c(s)}{D_c(s)}}\frac{1}{s}=\frac{(s+2)D_c(s)}{(s+2)D_c(s)+N_c(s)}\frac{1}{s}$$

令$N_c(s)=1$和$D_c(s)=s$，也就是說
$$G_c(s)=\frac{1}{s}$$

則可以得到
$$E(s)=\frac{(s+2)s}{s^2+2s+1}\frac{1}{s}=\frac{s+2}{s^2+2s+1}$$
很明顯，這里的積分器控制器可以實現${\lim }_{t\to \infty }e(t)=0$。

Example 2

（圖3）
圖2中把輸入信號改為斜坡信號，那么誤差信號的拉普拉斯變換為
$$\begin{array}{rl}E(s)& =\frac{1}{1+\frac{1}{s+2}\frac{N_c(s)}{D_c(s)}}\frac{1}{s^2}\\ & =\frac{(s+2)D_c(s)}{(s+2)D_c(s)+N_c(s)}\frac{1}{s^2}\\ & =\frac{s+2}{s^2+2s+1}\frac{1}{s}\end{array}$$

可以得到$$e(\infty )=2$$，因此一個積分器是不夠的，注意到$D_r(s)$不是$D_c(s)$的因子，然后我們嘗試一個控制器，滿足IMP的可整除性，如果我們取二重積器，那么滿足可整除性條件，我們得到$$E(s)=\frac{s+2}{s^3+2s^2+1}$$

然而，可以看到右半平面的極點使得系統不再穩定，也就是第一個條件不再滿足。

譯自：https://engineering.purdue.edu/~zak/ECE_382-Fall_2018/hand_3.pdf

總結

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