Hermite矩陣：$a_{ij}$ 與 $a_{ji}$ 共軛，即實部相等，虛部相反。

Hermite 矩陣的幾個性質

(1) 設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{C}}_r^{m\times n}(r>0)$, 則 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$ 是 Hermite 矩陣,且其特征值均是非負實數;
(2) $\mathrm{rank}\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\right)=\mathrm{rank}\mathbf{A}$;
(3) 設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{C}}^{m\times n}$, 則 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 的充要條件是 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}=\mathbf{O}$. 這些結論請讀者證明.

Proof. (1) Hermite矩陣是指A是A的共軛轉置，因為${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}={\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\right)}^{\mathrm{H}}$，所以${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$ 是
Hermite 矩陣. 因為 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\left(\mathbf{A}\mathbf{x}\right)}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}?0$
對于任意非零的$\mathbf{x}$，所以${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$
的特征值均是非負實數.

(2) 對于某個的$\mathbf{x}\in {\mathbf{C}}^n$，如果$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，可以推出${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$；對于某個的$\mathbf{x}\in {\mathbf{C}}^n$，如果${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，則${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\left(\mathbf{A}\mathbf{x}\right)}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，可以得到$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$。說明零空間相同，零空間維數相同.

考慮到矩陣的列數=其最大線性無關組的個數（秩）+零空間維數，${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$和$\mathbf{A}$的列數相同，零空間相同，所以秩相同.

(3) 如果$\mathbf{A}=\mathbf{O}$，則${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}=\mathbf{O}$成立；如果${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}=\mathbf{O}$，則對任意$\mathbf{x}\in {\mathbf{C}}^n$，有${\mathbf{x}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\left(\mathbf{A}\mathbf{x}\right)}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，即對任意$\mathbf{x}\in {\mathbf{C}}^n$，有$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$，則對$\mathbf{A}$的任一行向量，均與所有$\mathbf{x}\in {\mathbf{C}}^n$垂直，那么$\mathbf{A}$的所有行都是$\mathbf{O}$，也就是說$\mathbf{A}=\mathbf{O}$.

定義 4. 11 設 $\mathbf{A}\in {\mathbf{C}}_r^{m\times n}(r>0),{\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$ 的特征值為
$${\lambda }_1?{\lambda }_2???{\lambda }_r>{\lambda }_{r+1}=?={\lambda }_n=0$$ 則稱 ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}(i=1,2,?,n)$ 為 $\mathbf{A}$ 的奇異值;當 $\mathbf{A}$ 為零矩陣時, 它的奇異值都是 $0.$

易見,
(1) 矩陣 $\mathbf{A}$ 的奇異值的個數等于 $\mathbf{A}$ 的列數.

(2) $\mathbf{A}$ 的非零奇異值的個數等于 $\mathrm{rank}A$.

Proof: $\mathbf{A}$ 的零奇異值，也就是${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$的零特征根，也就是${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{O}$的解，那么$\mathbf{A}$的零奇異值的個數也就等于${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$的零空間的維數。

另外，$\mathbf{A}$ 的所有奇異值的個數等于${\mathbf{A}}^{\mathrm{H}}\mathbf{A}$的維數。

從(2)可以看出，矩陣的列數=其最大線性無關組的個數（秩）+零空間維數，則$\mathbf{A}$ 的非零奇異值的個數等于$\mathrm{rank}A$.

總結

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