設 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 為 $m\times n$ 矩陣, $m>n,\mathbf{B}$ 的秩為 $n$，稱為矩陣許瓦茨不等式。

證明： 設有兩個 $n$ 維向量 $\mathbf{\lambda }$ 和 $\mathbf{\alpha }$ 如下：
$$\mathbf{\lambda }={\left[\begin{array}{llll}{\lambda }_1& {\lambda }_2& ?& {\lambda }_n\end{array}\right]}^{\mathrm{T}},\mathbf{\alpha }={\left[\begin{array}{llll}{\alpha }_1& {\alpha }_2& ?& {\alpha }_n\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}$$考慮下面非負定的標量乘積$$(\mathbf{B}\mathbf{\lambda }+\mathbf{A}\mathbf{\alpha }{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{B}\mathbf{\lambda }+\mathbf{A}\mathbf{\alpha })?0$$只有 $\mathbf{B}\mathbf{\lambda }+\mathbf{A}\mathbf{\alpha }=0$ 時，上式的等號才成立。
展開上式，可得
$${\mathbf{\lambda }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{\lambda }+{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{\lambda }+{\mathbf{\lambda }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\alpha }+{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\alpha }?0$$因為假定 $\mathbf{B}$ 是滿秩的, 所以 ${\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}$ 存在, 可將上式寫成
$$\begin{array}{r}{\left[\mathbf{\lambda }+{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\alpha }\right]}^{\mathrm{T}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\left[\mathbf{\lambda }+{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\alpha }\right]+{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\left[{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}?{\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)\right]\mathbf{\alpha }?0\end{array}$$
上式對于任意 $\lambda$ 與 $\mathbf{\alpha }$ 都成立。選 $\lambda$ 為
$$\mathbf{\lambda }=?{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\alpha }$$
則上式變成 $${\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}\left[{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}?{\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)\right]\mathbf{\alpha }?0$$因為 $\mathbf{\alpha }$ 是任意的，只有當 $$\left[{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}?{\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)\right]$$ 是非負定時，這個二次型才是非負定的, 因此有式
$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}?{\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\right)}^{?1}\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\right)$$證畢。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的20220312 矩阵许瓦茨不等式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。