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https://www.luogu.com.cn/problem/P5244

題解

首先求出 LIS. 根據 LIS 的值我們可以對整個點集分層，每一層內進行 DP. 將每層的點按 \(x_i\) 從小到大排序，那么顯然一層內的 \(y_i\) 是遞減的。設第 \(d\) 層的點集為 \(L_d\).
那么上一層某點能轉移到的該層的點是一段區間，能轉移到該層某點的上一層的點也是一段區間。設能轉移到該層 (第 \(d\) 層) \(i\) 點的上一層的點區間為 \([l_i,r_i]\) 且 \([l_i,r_i]\in L_{d-1}\), 則轉移方程為 \(f[i]=\min_{j\in [l_i,r_i]}(f(d-1,j)+(x_i-x_j)(y_i-y_j))\).
現在我們證明這個 DP 有決策單調性: 設同一層的兩點 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\in L_{d-1}\) 滿足\(x_1<x_2,y_1>y_2\), 那么轉移到的點 \(x\) 越大時，\((x_2,y_2)\) 相對于 \((x_1,y_1)\) 越優。設二者的 \(f\) 值分別為 \(f_1,f_2\), 轉移到的點為 \((x,y)\), 二者作差可得 \(f_1+(x-x_1)(y-y_1)-f_2-(x-x_2)(y-y_2)\), 去掉與 \(x,y\) 無關的部分后整理得 \(x(y_2-y_1)+y(x_2-x_1)\). 由于 \(x\) 單調增，\((y_2-y_1)\) 為負數，\(y\) 單調減，\((x_2-x_1)\) 為正數，故該式值單調減，因此一定存在一個位置滿足它前面的 \((x_2,y_2)\) 更優，后面的 \((x_1,y_1)\) 更優 (前、后都指按 \(x\) 從小到大排序)，證畢。
假設轉移沒有區間限制，就可以直接用傳統的方法優化到 \(O(n\log n)\). 但是這里有轉移的區間限制，于是一個直接的方法是用線段樹維護，對上一層建線段樹，線段樹的每個區間使用傳統的方法跑一遍決策單調性，時間復雜度 \(O(n\log^2 n)\).
但是官方題解給了個更妙的做法: 由于這里 \(l_i\) 和 \(r_i\) 都是單調遞增的，我們可以把上一層分為若干個區間，滿足每個 \([l_i,r_i]\) 只和不超過 \(2\) 段區間有交，且和每一段有交的區間的交都是一段前綴或者后綴。具體的方法是直接對于當前待劃分的區間的左端點 \(l\) 選取左端點不超過 \(l\) 的 \([l_i,r_i]\) 中最大的 \(r_i\) 作為劃分出的第一個區間的右端點就可以了。那么我們對劃分出的每段區間分別從前往后和從后往前跑一遍傳統方法的決策單調性，就可以完成 DP 了。
時間復雜度 \(O(n\log n)\).

代碼

#include<bits/stdc++.h> #define llong long long #define mkpr make_pair #define riterator reverse_iterator #define pii pair<int,int> using namespace std;inline int read() {int x = 0,f = 1; char ch = getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}return x*f; }const int mxN = 2e5+2; const int mxMX = 1e6; const llong INF = 1e13; struct Point {int x,y,w;Point() {}Point(int _x,int _y) {x = _x,y = _y;} } a[mxN+3]; int bit[mxMX+3]; int lb[mxN+3],rb[mxN+3]; int segr[mxN+3]; llong f[mxN+3]; pii que[mxN+3]; vector<int> trans[mxN+3][2]; int n,m,segn; llong mx;bool cmp_xy(Point x,Point y) {return x.x<y.x||(x.x==y.x&&x.y<y.y);} bool cmp_w(Point x,Point y) {return x.w<y.w||(x.w==y.w&&x.x<y.x);}void modify(int u,int x) {u++; while(u<=mx+1) {bit[u] = max(bit[u],x); u+=(u&(-u));}} int query(int u) {u++; int ret = 0; while(u) {ret = max(ret,bit[u]); u-=(u&(-u));} return ret;}llong calc(int i,int j) {return f[i]+1ll*(a[j].x-a[i].x)*(a[j].y-a[i].y);}int main() {scanf("%d%lld",&n,&mx);for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y); a[++n] = Point(0,0),a[++n] = Point(mx,mx);sort(a+1,a+n+1,cmp_xy);for(int i=1; i<=n; i++){a[i].w = query(a[i].y)+1;modify(a[i].y,a[i].w);m = max(m,a[i].w);}sort(a+1,a+n+1,cmp_w);llong ans = INF; for(int i=1; i<=n; i++) f[i] = INF; f[1] = 0ll;for(int l=2,pl=1,pr=1; l<=n; l++){int r = l; while(r<n&&a[r+1].w==a[l].w) {r++;}for(int i=l,j=pl; i<=r; i++){while(j<pr&&a[j+1].x<=a[i].x) {j++;}rb[i] = j;}for(int i=r,j=pr; i>=l; i--){while(j>pl&&a[j-1].y<=a[i].y) {j--;}lb[i] = j;}segn = 0; segr[0] = pl-1;for(int l2=pl,j=l; l2<=pr; l2++){segn++; int r2 = l2;while(j<=r&&lb[j]<=l2){r2 = max(r2,rb[j]);if(rb[j]>=l2) {trans[segn][0].push_back(j);}if(lb[j]<l2) {trans[segn-1][1].push_back(j);}j++;}segr[segn] = r2;l2 = r2;if(l2==pr){while(j<=r){trans[segn][1].push_back(j);j++;}}}for(int i=1; i<=segn; i++){int hd = 1,tl = 0;for(int j=segr[i-1]+1,k=0; j<=segr[i]; j++){while(tl>=hd&&calc(que[tl].first,que[tl].second)>=calc(j,que[tl].second)) {tl--;}if(tl<hd) {que[++tl] = mkpr(j,r);}else{int left = l-1,right = que[tl].second;while(left<right){int mid = (left+right+1)>>1;if(calc(que[tl].first,mid)>=calc(j,mid)) {left = mid;}else {right = mid-1;}}if(left>=l) {que[++tl] = mkpr(j,left);}}while(k<trans[i][0].size()&&rb[trans[i][0][k]]==j){int pos = trans[i][0][k];while(tl>hd&&calc(que[tl].first,pos)>=calc(que[tl-1].first,pos)) {tl--;}f[pos] = min(f[pos],calc(que[tl].first,pos));k++;}}if(trans[i][1].size()==0) continue;hd = 1,tl = 0;for(int j=segr[i],k=trans[i][1].size()-1; j>segr[i-1]; j--){while(tl>=hd&&calc(que[tl].first,que[tl].second)>=calc(j,que[tl].second)) {tl--;}if(tl<hd) {que[++tl] = mkpr(j,l);}else{int left = que[tl].second,right = r+1;while(left<right){int mid = left+(right-left>>1);if(calc(que[tl].first,mid)>=calc(j,mid)) {right = mid;}else {left = mid+1;}}if(right<=r) {que[++tl] = mkpr(j,right);}}while(k>=0&&lb[trans[i][1][k]]==j){int pos = trans[i][1][k];while(tl>hd&&calc(que[tl].first,pos)>=calc(que[tl-1].first,pos)) {tl--;}f[pos] = min(f[pos],calc(que[tl].first,pos));k--;}}}for(int i=0; i<=segn; i++) trans[i][0].clear(),trans[i][1].clear();pl = l,l = pr = r;}printf("%lld\n",f[n]);return 0; }

總結

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