目錄

• 基礎知識
• 案例實戰

版權：轉載前請聯系作者獲得授權。
聲明：部分內容出自因果關系之梯，已獲得原作者授權。
參考書籍：《The Book of Why》——Judea Pearl

基礎知識

定義：對于包含外生變量$U$和內生變量$X$和$Y$的SCM，形如$Y_{X=x}(U=u)=y$表示“在$U=u$的情況下，如果$X=x$，則$Y=y$”。其中，$Y_{X=x}(U=u)=y$可以簡寫為$Y_x(u)=y$。

反事實分析的一般步驟：

外展。基于數據對外生變量$U$進行估算。

干預。利用$do$算子改變模型（刪除指向$X$的箭頭），得到新模型$M_x$，反映我們提出的反事實假設。

預測。基于$U$和$M_x$來計算結果。

以上三個步驟可以總結為：

因果推斷第一定律：$Y_x(u)=Y_{M_x}(u)$

反事實和干預的區別：

表現形式：$do（x）$ vs $Y_x$

對$X$進行干預，不會對$X$的子孫節點造成影響，而反事實會。

如何理解第2條？可以考慮如下因果圖，$P(Y|do(x))$和$P(Y_x)$的含義顯然不同。

• 計算$P(Y|do(x))$時，$Y$的結果實際上和$X$的取值毫無關系，因為路徑被$Z$阻斷了！
• 計算$P(Y_x)$時，會根據$X=x$對對應的$Z$進行改動，進而得到$Y_x$。

案例實戰

下面基于一個案例，加深對反事實分析的理解。
在下表中，學歷共分為$0,1,2$三種，分別代表高中，本科，研究生。$S_0(u)$表示雇員$u$在學歷是高中時，現有的工資水平，$S_1(u)$和$S_2(u)$則是在本科和研究生學歷下的工資水平。由于在工作時，每個人的學歷已經固定，只會是高中、本科和研究生中的一種。故，對于每一個雇員，有兩個工資的值為$?$，表示無法獲得。

雇員 (u)工齡 EX(u)學歷 ED(u)工資 S0(u)工資 S1(u)工資 S2(u)

Alice	6	0	81000	?	?
Bob	9	1	?	92500	?
Lucy	9	2	?	?	97000
Daivd	8	1	?	91000	?
Est	12	1	?	100000	?
Flxs	13	0	97000	?	?
…	…	…	…	…	…

現在，我們想要研究一個反事實問題——如果Alice的學歷是本科，那么她的工資應為多少？即：通過上表中的數據，估算$S_1(Alice)$。

在不使用反事實分析的情況下，我們或許可以采用線性回歸，通過統計得到你和數據的最佳直線：

$$S=2500\times EX+5000\times ED+65000$$

并依此得出$S_1(Alice)=2500\times 6+5000\times 1+65000=85000$

但是，上述方法有一個明顯的弊端，即：對于任何雇員，如果他們的工齡和學歷一致，則預測出的工資也是一致的！通過觀察Bob和Lucy的工資，我們可以發現，這顯然是不對的！

從表中可以看出，Bob和Lucy具有相同的工齡，但Bob的學歷更低。那么，假如Lucy的學歷和Bob一致，二人的工資應該一致嗎？答案顯然是否定的。因為，如果Lucy降低了學歷，那么理論上她的工齡會比Bob更長，這會導致$S_1(Lucy)>S_1(Bob)$。

如何在模型中體現這一點呢？

從因果的角度出發，我們首先可以構建如下的因果圖：

我們還是通過線性回歸擬合最佳直線，但是和上文中稍有不同：

$$S=2500\times EX+5000\times ED+65000+U_S$$

同時，我們還需要一個（可能是）下式的方程：

$$EX=10?4\times ED+U_{EX}$$

有了這兩個方程后，我們就可以根據反事實分析的三個步驟，計算$S_1(Alice)$：

根據數據估算出$U_S=1000,U_{EX}=?1$;

使用$do$算子修改Alice的學歷；

根據$U_S=1000,U_{EX}=?1$計算出$ED=2$，再結合$ED=1$計算出$S_1(Alice)=76000$。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的因果推断 - 反事实的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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