描述：

http://codevs.cn/problem/1789/

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題解：

第一次寫(xiě)最大閉合子圖的題，把過(guò)程寫(xiě)詳細(xì)。

如果要選擇第i個(gè)用戶(hù)群，那么就必須選擇中轉(zhuǎn)站ai和bi。而這個(gè)約束條件是最大閉合子圖的經(jīng)典條件，先來(lái)看看最大閉合子圖的定義：

最大權(quán)閉合子圖即為，給定一個(gè)圖，每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)權(quán)值，有正有負(fù)。有一些有向邊(i,j)，表示若選了點(diǎn)i，那么也必須選點(diǎn)j。請(qǐng)求出一個(gè)合法點(diǎn)集使得點(diǎn)權(quán)和盡量大.

然后開(kāi)始建模：
首先建立二分圖，建立附加源s和附加匯t，從s到每個(gè)用戶(hù)群連一條容量為ci的邊，表示選擇這個(gè)用戶(hù)群的收益；從每個(gè)中轉(zhuǎn)站到t連一條容量為pi的邊，表示中轉(zhuǎn)站的成本，注意這個(gè)成本其實(shí)是負(fù)數(shù)，這里取相反數(shù)即正值，后面要轉(zhuǎn)化。再?gòu)挠脩?hù)群到需要的中轉(zhuǎn)站連一條容量為INF的邊。求s到t的最大流，用戶(hù)群的權(quán)值和-最大流量就是最終結(jié)果。

分析：
最大流一定對(duì)應(yīng)一個(gè)最小割，那么考慮這樣一組邊：s->ci->ai、bi->t，其中有且只有一條邊在最小割中【1】，且只能為s->ai(bi)和ci->t中的一條【2】，因?yàn)樽钚「畹男再|(zhì)得出【1】，而用戶(hù)群和中轉(zhuǎn)站之間的邊容量已經(jīng)被設(shè)為INF，不會(huì)滿(mǎn)流得出【2】。

假設(shè)所有用戶(hù)群都選擇并且不需要任何中轉(zhuǎn)站，此時(shí)獲利為T(mén)otal。然后我們讓割集的流量代表相對(duì)Total損失的錢(qián)。損失的錢(qián)包括兩部分：1.放棄選擇的用戶(hù)群所帶來(lái)的收益；2.選擇一些必要的中轉(zhuǎn)站需要的成本。

如果s->ci在最小割中，代表?yè)p失掉ci的錢(qián)，那么就沒(méi)有選擇ci這個(gè)中轉(zhuǎn)站。對(duì)相應(yīng)ai和bi沒(méi)有影響。

相反的，如果s->ci不在最小割中，則代表選擇ci這個(gè)中轉(zhuǎn)站（因?yàn)椴粨p失ci的獲利），那么相應(yīng)ai、bi->t的邊一定在最小割中，代表選擇ai和bi（損失這些成本）。這樣就滿(mǎn)足了選擇ci，ai、bi一定被選。

最后要讓損失的錢(qián)最少，也就是割的流量最小，最小割流量對(duì)應(yīng)著最大流MaxFlow,那么

ans=Total?MaxFlow;

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代碼：

454ms 12MB

#include<cstdio> #include<cstring> #include<vector> #include<queue> using namespace std;const int maxn = 5000 + 10; const int maxnode = 50000 + 5000 + 10; const int INF = 1e9 + 7;struct Edge {int from, to, cap, flow; };struct ISAP {int n, m, s, t;vector<Edge> edges;vector<int> G[maxnode]; bool vis[maxnode]; int d[maxnode], cur[maxnode], p[maxnode], num[maxnode]; void AddEdge(int from, int to, int cap) {edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});m = edges.size();G[from].push_back(m-2);G[to].push_back(m-1);}bool BFS() {memset(vis, 0, sizeof(vis));queue<int> Q;Q.push(t);vis[t] = 1;d[t] = 0;while(!Q.empty()) {int x = Q.front(); Q.pop();for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {Edge& e = edges[G[x][i]^1];if(!vis[e.from] && e.cap > e.flow) {vis[e.from] = 1;d[e.from] = d[x] + 1;Q.push(e.from);}}}return vis[s];}int Augment() {int x = t, a = INF;while(x != s) {Edge& e = edges[p[x]];a = min(a, e.cap-e.flow);x = edges[p[x]].from;}x = t;while(x != s) {edges[p[x]].flow += a;edges[p[x]^1].flow -= a;x = edges[p[x]].from;}return a;}int Maxflow(int s, int t, int n) {this->s = s; this->t = t; this->n = n;int flow = 0;BFS();memset(num, 0, sizeof(num));for(int i = 0; i < n; i++) num[d[i]]++;int x = s;memset(cur, 0, sizeof(cur));while(d[s] < n) {if(x == t) {flow += Augment();x = s;}int ok = 0;for(int i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {Edge& e = edges[G[x][i]];if(e.cap > e.flow && d[x] == d[e.to] + 1) { ok = 1;p[e.to] = G[x][i];cur[x] = i;x = e.to;break;}}if(!ok) { int m = n-1;for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {Edge& e = edges[G[x][i]];if(e.cap > e.flow) m = min(m, d[e.to]);}if(--num[d[x]] == 0) break;num[d[x] = m+1]++;cur[x] = 0; if(x != s) x = edges[p[x]].from;}}return flow;} }isap;int p[maxn];int main() {int n, m, s, t;scanf("%d%d", &n, &m);s = 0; t = m + n + 1;for(int i = m + 1; i <= m + n; i++) {int p;scanf("%d", &p);isap.AddEdge(i, t, p);}int tot = 0;for(int i = 1; i <= m; i++) {int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);tot += c; isap.AddEdge(s, i, c);isap.AddEdge(i, a + m, INF);isap.AddEdge(i, b + m, INF);}printf("%d\n", tot - isap.Maxflow(s, t, t+1));return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[codevs 1789] 最大获利（2006年NOI全国竞赛）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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