分形(Fractal)是指具有自相似特性的現象、圖像或者物理過程等。分形學誕生于1970年代中期，屬于現代數學中的一個分支。分形學的創始人是具有法國和美國雙重國籍的曼德勃羅，他在1982年出版的《大自然的分形幾何學》（The Fractal Geometry of Nature）是分形學的經典著作。 分形一般有以下特質：

• 分形有無限精細的結構，即有任意小比例的細節
• 分形從傳統的幾何觀點看如此不規則，以至于難以用傳統的幾何語言來描述
• 分形有統計的或近似的自相似的形式
• 分形的維數(可以有多種定義)大于其拓撲維數
• 分形可以由簡單的方法定義，例如迭代

Mandelbrot集合是分形幾何中的經典集合，它是一個在復平面中通過對方程式 z = z² + c 進行迭代產生的圖形。Julia集合是分形幾何中的另一個經典集合。其他著名的圖形還有Koch雪花和謝爾賓斯基三角形。

由于需要大量的數學運算，研究分形必須借助于計算機。

分形算法可以用來生成山脈、樹木等自然界中的場景。也有人研究使用分形理論的數據壓縮算法。

分形的歷史

在傳統的幾何學中，人們研究一個幾何對象，總是習慣于在Euclid空間(Rⁿ,Euclidean)對其研究和度量，其中字母n表示空間的維數，通常為整數，如n分別為1、2、3時，對應的空間為線性空間、平面空間、立體空間，在相應的空間中，我們可以測得幾何對象的長度、面積、體積等。但是大約在1個世紀前，在數學領域，相繼出現了一些被稱為數學怪物(mathematical monsters)的東西，在傳統的Euclid領域，人們無法用幾何語言去表述其整體或局部性質，其中，比較著名的數學怪物包括：

這些數學怪物困擾數學家許多年，直至20世紀，被美國數學家Benoit B. Mandelbrot創立的分形幾何學(fractal geometry)徹底解決。Mandelbrot提出：我們之所以無法用幾何語言去描述這些數學怪物，是因為我們是在維數為整數的空間中，用維數同樣是整數的“尺子”對其丈量、描述；而維數不應該僅僅是整數，可以是任何一個正實數；只有在幾何對象對應的維數空間中，才能對該幾何體進行合理的整體或局部描述。 以上圖的Koch曲線為例，其維數約為1.26，我們應用同樣為1.26維的尺子對其進行描述，比如取該曲線前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個幾何體，此幾何體長度為4。也正是因其維數介于1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長度為無窮大，2維下面積為零。

Fractal這個詞是由Mandelbrot于1975創造的，來源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即為“不規則、支離破碎”的物體。1967年，Mandelbrot在美國《Science》雜志上發表題目為《英國的海岸線有多長》的劃時代論文，標志著其分形思想萌芽的出現。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》,1977年，在美國出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形狀機遇和維數》）,同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形幾何》)，但是這三本書還未對社會和學術界造成太大的影響。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形幾何》)第二版才得到歐美社會的廣泛關注，并迅速形成了“分形熱”，此書也被分形學界視為分形“圣經”。

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• 分形學發展史上的重要里程碑
  • 1872年 Cantor集合被創造
  • 1895年 Weierstrass曲線被創造，此曲線特點是“處處連續，點點不可微”
  • 1906年 Koch曲線被創造
  • 1914年 Sierpinski三角形被創造
  • 1919年 描述復雜幾何體的Hausdorff維問世
  • 1951年 英國水文學家Hurst通過多年研究尼羅河，總結出Hurst定律
  • 1967年 Mandelbrot在《Science》雜志上發表論文《英國的海岸線有多長》
  • 1975年 Mandelbrot創造“Fractals”一詞
  • 1977年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》
  • 1977年 Mandelbrot在美國出版英文著作《Fractals:From,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》
  • 1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引發“分形熱”
  • 1991年 英國的Pergman出版社創辦《Chaos，Soliton and Fractal》雜志
  • 1993年 新加坡世界科學出版社創辦《Fractal》雜志
  • 1998年 在馬耳他(Malta)的瓦萊塔(Valletta)召開了“分形98年會議”(5th International Multidisciplinary Conference)
  • 2003年 在德國的Friedrichroda召開了“第三屆分形幾何和推測學國際會議”
  • 2004年 在加拿大(Canada)的溫哥華(Vancouver)召開了“分形2004年會議”(8th International Multidisciplinary Conference)

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分形的定義

迄今為止，分形還沒有一個嚴格的定義。1982年，曼德勃羅(Mandelbrot)將分形定義為豪斯多夫維(Hausdorff dimension)嚴格大于拓撲維的集合。1986年，曼德勃羅又給出了一個定義：分形是局部和整體以某種方式相似的形(A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way)。此外，對于具有自相似性質的分形來說，豪斯多夫維等于閔可夫斯基維(Minkovski dimension)。

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分形的種類

• 逃逸時間系統：復迭代的收斂限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形
• 迭代函數系統：這些形狀一般可以用簡單的幾何“替換”來實現。例如：康托集合、Koch雪花、謝爾賓斯基三角形、Peano曲線等等。
• 吸引子：點在迭代的作用下得到的結構。一般可以用微分方程確立。例如：Lorenz吸引子。

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分形的計算

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分形的應用

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圖形學

軟件

• Ultra Fractal
• Visions of Chaos
• Fraciant

參考文獻

• [1] Mandelbrot,B.B.,1967,How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractional dimension,Science,155,636~638
• [2] Mandelbrot,B.B.,1977,Fractals,Form,Chance and Dimension,San Francisco,W.H.Freeman&Co.
• [3] Mandelbrot,B.B.,1982,The Fractal Geometry of Nature,San Francisco,Freeman.
• [4] 李水根，2004，分形，北京：高等教育出版社
• [5] 陳颙 陳凌，2005，分形幾何學，北京:地震出版社