分形(Fractal)
| 分形(Fractal)是指具有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過(guò)程等。分形學(xué)誕生于1970年代中期，屬于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)分支。分形學(xué)的創(chuàng)始人是具有法國(guó)和美國(guó)雙重國(guó)籍的曼德勃羅，他在1982年出版的《大自然的分形幾何學(xué)》（The Fractal Geometry of Nature）是分形學(xué)的經(jīng)典著作。 分形一般有以下特質(zhì)：
Mandelbrot集合是分形幾何中的經(jīng)典集合，它是一個(gè)在復(fù)平面中通過(guò)對(duì)方程式 z = z2 + c 進(jìn)行迭代產(chǎn)生的圖形。Julia集合是分形幾何中的另一個(gè)經(jīng)典集合。其他著名的圖形還有Koch雪花和謝爾賓斯基三角形。 由于需要大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，研究分形必須借助于計(jì)算機(jī)。 分形算法可以用來(lái)生成山脈、樹(shù)木等自然界中的場(chǎng)景。也有人研究使用分形理論的數(shù)據(jù)壓縮算法。 分形的歷史在傳統(tǒng)的幾何學(xué)中，人們研究一個(gè)幾何對(duì)象，總是習(xí)慣于在Euclid空間(Rn,Euclidean)對(duì)其研究和度量，其中字母n表示空間的維數(shù)，通常為整數(shù)，如n分別為1、2、3時(shí)，對(duì)應(yīng)的空間為線性空間、平面空間、立體空間，在相應(yīng)的空間中，我們可以測(cè)得幾何對(duì)象的長(zhǎng)度、面積、體積等。但是大約在1個(gè)世紀(jì)前，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，相繼出現(xiàn)了一些被稱為數(shù)學(xué)怪物(mathematical monsters)的東西，在傳統(tǒng)的Euclid領(lǐng)域，人們無(wú)法用幾何語(yǔ)言去表述其整體或局部性質(zhì)，其中，比較著名的數(shù)學(xué)怪物包括：
這些數(shù)學(xué)怪物困擾數(shù)學(xué)家許多年，直至20世紀(jì)，被美國(guó)數(shù)學(xué)家Benoit B. Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何學(xué)(fractal geometry)徹底解決。Mandelbrot提出：我們之所以無(wú)法用幾何語(yǔ)言去描述這些數(shù)學(xué)怪物，是因?yàn)槲覀兪窃诰S數(shù)為整數(shù)的空間中，用維數(shù)同樣是整數(shù)的“尺子”對(duì)其丈量、描述；而維數(shù)不應(yīng)該僅僅是整數(shù)，可以是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)；只有在幾何對(duì)象對(duì)應(yīng)的維數(shù)空間中，才能對(duì)該幾何體進(jìn)行合理的整體或局部描述。 以上圖的Koch曲線為例，其維數(shù)約為1.26，我們應(yīng)用同樣為1.26維的尺子對(duì)其進(jìn)行描述，比如取該曲線前1/4段作為單位為1的尺子去丈量這個(gè)幾何體，此幾何體長(zhǎng)度為4。也正是因其維數(shù)介于1維與2維之間，所以此幾何體在1維下長(zhǎng)度為無(wú)窮大，2維下面積為零。 Fractal這個(gè)詞是由Mandelbrot于1975創(chuàng)造的，來(lái)源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即為“不規(guī)則、支離破碎”的物體。1967年，Mandelbrot在美國(guó)《Science》雜志上發(fā)表題目為《英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)》的劃時(shí)代論文，標(biāo)志著其分形思想萌芽的出現(xiàn)。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》,1977年，在美國(guó)出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形狀機(jī)遇和維數(shù)》）,同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形幾何》)，但是這三本書(shū)還未對(duì)社會(huì)和學(xué)術(shù)界造成太大的影響。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》(《大自然的分形幾何》)第二版才得到歐美社會(huì)的廣泛關(guān)注，并迅速形成了“分形熱”，此書(shū)也被分形學(xué)界視為分形“圣經(jīng)”。 ?
? 分形的定義迄今為止，分形還沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的定義。1982年，曼德勃羅(Mandelbrot)將分形定義為豪斯多夫維(Hausdorff dimension)嚴(yán)格大于拓?fù)渚S的集合。1986年，曼德勃羅又給出了一個(gè)定義：分形是局部和整體以某種方式相似的形(A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way)。此外，對(duì)于具有自相似性質(zhì)的分形來(lái)說(shuō)，豪斯多夫維等于閔可夫斯基維(Minkovski dimension)。 ? 分形的種類
? 分形的計(jì)算? 分形的應(yīng)用? 圖形學(xué)Mandelbrot 集合全貌。軟件
參考文獻(xiàn)
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總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的分形(Fractal)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
