Description

神炎皇烏利亞很喜歡數對，他想找到神奇的數對。
對于一個整數對 (a,b)，若滿足 a+b<=n 且 a+b 是 ab 的因子，則成為神奇的數對。請問這樣的數對共有多少呢？

Input

一行一個整數n。

Output

一行一個整數表示答案，保證不超過64位整數范圍。

Sample Input

21

Sample Output

11

Data Constraint

對于20%的數據 n<=103；
對于40%的數據 n<=105；
對于60%的數據 n<=106；
對于80%的數據 n<=1012；
對于100%的數據 n<=1014。

Solution

• 觀察a+b<=n 且 a+b|ab

• 使

  d=Gcd(a,b)必然 d>1 才能使 a+b|ab

• 則

  a=a′d，b=b′d

• 可知

  Gcd(a′,b′)=1

• 推出

  Gcd(a′+b′,b′)=1

• 所以

  a+b|ab=>(a′+b′)d|a′b′d2=>a′+b′|a′b′d

• 因為

  a′+b′?a′b′

• 所以

  a′+b′|d

• 又設

  d=c(a′+b′)

• 則

  a+b=d(a′+b′)=(a′+b′)2?p≤n 且 p>0

• 所以

  a′+b′≤n√

• 設

  k=a′+b′，之后枚舉 k。

• 由于p可能的取值為?nk2?

• 由

  Gcd(a′+b′,b′)=1得Gcd(k,b′)=1

• 那么b’的取值就是

  φ(k)

• 所以答案就是

  ∑k=1n√k??nk2??φ(k)

• 因為 φ(k) 可以用線性篩法求出!

• 最終時間復雜度就是

  O(n√)

Code

#include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; typedef long long LL; const int N=10000001; int m; LL n,ans; int f[N],phi[N]; bool bz[N]; int main() {scanf("%lld",&n);m=sqrt(n);for(int i=2;i<=m;i++){if(!bz[i]) phi[f[++f[0]]=i]=i-1;for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<=m;j++){bz[i*f[j]]=true;if(i%f[j]==0){phi[i*f[j]]=phi[i]*f[j];break;}else phi[i*f[j]]=phi[i]*(f[j]-1);}}//線性篩法for(int i=2;i<=m;i++) ans+=n/(1LL*i*i)*1LL*phi[i];printf("%lld",ans);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的JZOJ 4919. 【NOIP2017提高组模拟12.10】神炎皇的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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