Description

worldwideD最近有午睡的習慣~某日中午，他做了一個夢：夢見有一個怪人，她去一個島上住N+1天（編號為0到N）。這是在大洋中的島，每天要么是晴天，要么刮臺風。她到達島的第0天是晴天（這樣她才能上岸）。然后對于第i天，假如是晴天，那么有P（0<P≤1）的幾率會變天：接下來連續M天都刮臺風，然后第i+M+1天必然會轉晴。天氣對她的心情會有影響，用一個值來描述她每一天的心情：如果第i天是晴天，那么這個值為A；如果是雨天，那么島上有D（0<D≤1）的幾率會發生殺人案件，如果沒發生殺人案件，這個值為B，否則為C。worldwideD醒來了，他想知道編號1到N天的心情值之和的期望值。

Input

一行7個整數N,M,P,D,A,B,C，如題目所描述（其中給出的P，D是模998244353意義下的值）

Output

一個整數，為答案。

Sample Input

Sample Input1

3 1 499122177 499122177 1 2 3

Sample Input2

233 23 372752072 54252411 10 20 22

Sample Output

Sample Output1

311951365

Sample Output2

651727164

Data Constraint

30%：N≤20
50%：N≤2,000
100%：1≤M≤N≤1,000,000 1≤A,B,C≤1,000 1≤P,D＜998244353

Hint

樣例一輸出的值對應的實數是4.6875

Solution

• 解決這道題如果直接計算總期望值的話，將會有些困難。

• 于是我們轉而先計算概率。設 F[i] 表示 第 i 天是晴天的概率。

• 考慮第 i?1 天的天氣，如果是晴天，那么則有：

  F[i]+=F[i?1]?(1?P)。

• • 如果是臺風天，說明第 i?1 天是連續臺風天的第 m 天，則第 i?m?1 天必然是上一個晴天。

  • 則有：

    F[i]+=F[i?m?1]?P

  • 初始化是：F[0]=1（第 0 天必定是晴天），于是就可以 O(N) 求出概率了。

  • 接著計算總期望，討論第 i 天的情況：

  • ①：是晴天，則期望為： F[i]?A ；

  • ②：是臺風天，則期望為： (1?F[i])?(C?D+B?(1?D)) （殺人案件的期望）；

  • 那么把這 N 天的①②兩種期望全部相加即為答案，時間復雜度為 O(N) 。

  • 注意：所給的概率都是模意義下的，設給定的模數為 Mo ，處理時都應模 Mo 。

  • 若給的概率在模意義下為 x ，則概率 1?x 就等于 Mo+1?x ，證明略。

Code

#include<cstdio> using namespace std; const int mo=998244353; int n,m; long long p,d,a,b,c,ans; long long f[1000001]; int main() {scanf("%d%d%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&p,&d,&a,&b,&c);long long k=(c*d%mo+(mo+1-d)*b%mo)%mo;for(int i=f[0]=1,l=mo+1-p;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]*l%mo;if(i-m-1>=0) f[i]=(f[i]+f[i-m-1]*p)%mo;ans=(ans+f[i]*a)%mo;ans=(ans+(mo+1-f[i])*k)%mo;}printf("%lld",ans);return 0; }

總結

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