【OpenCV 例程200篇】90. 頻率域陷波濾波器

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5.2 陷波濾波器 （Notch Filter）

陷波濾波器阻止或通過預定的頻率矩形鄰域中的頻率，是重要的選擇性濾波器。

陷波濾波器可以在某一個頻率點迅速衰減輸入信號，以達到阻礙此頻率信號通過的濾波效果的濾波器。陷波濾波器屬于帶阻濾波器的一種，它的阻帶非常狹窄，起階數必須是二階（含二階）以上。

零相移濾波器必須給予原點（頻率矩形中心）對稱，因此中心為 $(u_0,v_0)$ 的陷波濾波器傳遞函數在 $(?u_0,?v_0)$ 位置必須有一個對應的陷波。

陷波帶阻濾波器的傳遞函數可以用中心已被平移到陷波濾波器中心的高通濾波器的乘積來構造 ：
$$H_{NR}(u,v)=\prod _{k=1}^Q{H}_k(u,v)H_{?k}(u,v)$$

其中，濾波器的距離計算公式為：
$$\begin{gathered} D_k(u,v)=\sqrt{(u?M/2?u_k{)}^2+(v?N/2?v_k{)}^2} \\ {D}_{?k}(u,v)=\sqrt{(u?M/2+u_k{)}^2+(v?N/2+v_k{)}^2} \end{gathered}$$
于是，3 階巴特沃斯陷波帶阻濾波器為：
$$H_{NR}(u,v)=\prod _{k=1}^3[\frac{1}{1+[D_{0k}/D_k(u,v){]}^n}][\frac{1}{1+[D_{?k}/D_k(u,v){]}^n}]$$
陷波帶通濾波器的傳遞函數可用陷波帶阻濾波器得到：
$$H_{NP}(u,v)=1?H_{NR}(u,v)$$

例程 8.29 使用陷波濾波刪除數字化印刷圖像中的莫爾模式

本例使用陷波濾波降低數字化印刷圖像中的莫爾波紋。

摩爾紋是差拍原理的表現(xiàn)。兩個頻率接近的等幅正弦波疊加后，信號幅度將按照兩個頻率之差變化。如果感光元件像素的空間頻率與影像中條紋的空間頻率接近，就會產生摩爾紋。

陷波濾波是選擇性的修改DFT的局部區(qū)域。典型的處理方法是交互式操作，直接用鼠標在傅里葉頻譜中選擇矩形區(qū)域，找出最大值點作為 (uk,vk)。為了簡化程序，本例程刪除了鼠標交互部分，只保留了給出 (uk,vk) 后的濾波處理過程。

# OpenCVdemo08.py # Demo08 of OpenCV # 8. 圖像的頻率域濾波 # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-12-30 # 例程 8.29 使用陷波濾波刪除數字化印刷圖像中的莫爾模式def gaussLowPassFilter(shape, radius=10): # 高斯低通濾波器u, v = np.mgrid[-1:1:2.0 / shape[0], -1:1:2.0 / shape[1]]D = np.sqrt(u ** 2 + v ** 2)D0 = radius / shape[0]kernel = np.exp(- (D ** 2) / (2 * D0 ** 2))return kerneldef butterworthNRFilter(shape, radius=9, uk=60, vk=80, n=2): # 巴特沃斯陷波帶阻濾波器M, N = shape[1], shape[0]u, v = np.meshgrid(np.arange(M), np.arange(N))Dm = np.sqrt((u - M // 2 - uk) ** 2 + (v - N // 2 - vk) ** 2)Dp = np.sqrt((u - M // 2 + uk) ** 2 + (v - N // 2 + vk) ** 2)D0 = radiusn2 = n * 2kernel = (1 / (1 + (D0 / (Dm + 1e-6)) ** n2)) * (1 / (1 + (D0 / (Dp + 1e-6)) ** n2))return kerneldef imgFrequencyFilter(img, lpTyper="GaussLP", radius=10):normalize = lambda x: (x - x.min()) / (x.max() - x.min() + 1e-8)# (1) 邊緣填充imgPad = np.pad(img, ((0, img.shape[0]), (0, img.shape[1])), mode="reflect")# (2) 中心化: f(x,y) * (-1)^(x+y)mask = np.ones(imgPad.shape)mask[1::2, ::2] = -1mask[::2, 1::2] = -1imgPadCen = imgPad * mask# (3) 傅里葉變換fft = np.fft.fft2(imgPadCen)# (4) 構建 頻域濾波器傳遞函數:if lpTyper == "GaussLP":print(lpTyper)freFilter = gaussLowPassFilter(imgPad.shape, radius=60)elif lpTyper == "GaussHP":freFilter = gaussLowPassFilter(imgPad.shape, radius=60)elif lpTyper == "ButterworthNR":print(lpTyper)freFilter = butterworthNRFilter(imgPad.shape, radius=9, uk=60, vk=80, n=2) # 巴特沃斯陷波帶阻濾波器elif lpTyper == "MButterworthNR":print(lpTyper)BNRF1 = butterworthNRFilter(imgPad.shape, radius=9, uk=60, vk=80, n=2) # 巴特沃斯陷波帶阻濾波器BNRF2 = butterworthNRFilter(imgPad.shape, radius=9, uk=-60, vk=80, n=2)BNRF3 = butterworthNRFilter(imgPad.shape, radius=9, uk=60, vk=160, n=2)BNRF4 = butterworthNRFilter(imgPad.shape, radius=9, uk=-60, vk=160, n=2)freFilter = BNRF1 * BNRF2 * BNRF3 * BNRF4else:print("Error of unknown filter")return -1# (5) 在頻率域修改傅里葉變換: 傅里葉變換 點乘 濾波器傳遞函數freTrans = fft * freFilter# (6) 傅里葉反變換ifft = np.fft.ifft2(freTrans)# (7) 去中心化反變換的圖像M, N = img.shape[:2]mask2 = np.ones(imgPad.shape)mask2[1::2, ::2] = -1mask2[::2, 1::2] = -1ifftCenPad = ifft.real * mask2# (8) 截取左上角，大小和輸入圖像相等imgFilter = ifftCenPad[:M, :N]imgFilter = np.clip(imgFilter, 0, imgFilter.max())imgFilter = np.uint8(normalize(imgFilter) * 255)return imgFilter# 使用陷波濾波刪除數字化印刷圖像中的莫爾模式# (1) 讀取原始圖像img = cv2.imread("../images/Fig0464a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像fig = plt.figure(figsize=(10, 5))plt.subplot(141), plt.title("Original"), plt.axis('off'), plt.imshow(img, cmap='gray')# (2) 圖像高斯低通濾波imgGLPF = imgFrequencyFilter(img, lpTyper="GaussLP", radius=30) # 圖像高斯低通濾波plt.subplot(142), plt.title("GaussLP filter"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgGLPF, cmap='gray')# (3) 圖像巴特沃斯陷波帶阻濾波imgBNRF = imgFrequencyFilter(img, lpTyper="ButterworthNR", radius=9)plt.subplot(143), plt.title("ButterworthNR filter"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgBNRF, cmap='gray')# (4) 疊加巴特沃斯陷波帶阻濾波imgSBNRF = imgFrequencyFilter(img, lpTyper="MButterworthNR", radius=9)plt.subplot(144), plt.title("Superimposed BNRF"), plt.axis('off'), plt.imshow(imgSBNRF, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節(jié)完）

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總結

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