Python 實例介紹固定費用問題的建模與求解。

學習 PuLP工具包中處理復雜問題的快捷使用方式。

『Python小白的數學建模課 @ Youcans』帶你從數模小白成為國賽達人。

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前文講到幾種典型的 0-1 規劃問題，給出了 PuLP 求解的案例。由于 0-1 規劃問題種類很多，又是數模競賽熱點，有必要再結合幾個實例進行介紹。

1. 固定費用問題案例解析

1.1 固定費用問題（Fixed cost problem）

固定費用問題，是指求解生產成本最小問題時，總成本包括固定成本和變動成本，而選擇不同生產方式會有不同的固定成本，因此總成本與選擇的生產方式有關。

固定費用問題，實際上是互斥的目標函數問題，對于不同的生產方式具有多個互斥的目標函數，但只有一個起作用。固定費用問題不能用一般的線性規劃模型求解。

一般地，設有 m 種生產方式可供選擇，采用第 j 種方式時的固定成本為 $K_j$、變動成本為 $c_j$、產量為 $x_j$，則采用各種生產方式的總成本分別為：
$$min{P}_j=\{\begin{array}{ll}{k}_j+c_j{x}_j，& x_j\ge 0\\ 0，& x_j=0,j=1,...m\end{array}$$

該類問題的建模方法，為了構造統一的目標函數，可以引入 m 個 0-1 變量 y_j 表示是否采用第 j 種生產方式：
$$y_j=\{\begin{array}{l}0，不采用第j種生產方式\\ 1，采用第j種生產方式\end{array}$$

于是可以構造新的目標函數和約束條件：
$$\begin{gathered} minf(x)=\sum _{j=1}^m(k_j{y}_j+c_j{x}_j) \\ s.t.:x_j\le y_{j}M，j=1,...m \end{gathered}$$

M 是一個充分大的常數。

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1.2 案例問題描述

例題 1：
某服裝廠可以生產 A、B、C 三種服裝，生產不同種類服裝需要租用不同設備，設備租金、生產成本、銷售價格等指標如下表所示。

服裝種類設備租金材料成本銷售價格人工工時設備工時設備可用工時

單位	（元）	（元/件）	（元/件）	（小時/件）	（小時/件）	（小時）
A	5000	280	400	5	3	300
B	2000	30	40	1	0.5	300
C	2000	200	300	4	2	300

如果各類服裝的市場需求都足夠大，服裝廠每月可用人工時為 2000h，那么應該如何安排生產計劃使利潤最大？

1.3 建模過程分析

首先要理解生產某種服裝就會發生設備租金，租金只與是否生產該產品有關，而與生產數量無關，這就是固定成本。因此本題屬于固定費用問題。

有些同學下意識地認為是從 3 種產品中選擇一種，但題目中并沒有限定必須或只能生產一種產品，因此決策結果可以是都不生產、選擇 1 種或 2 種產品、3 種都生產。

決策結果會是什么都不生產嗎？有可能的。

每種產品的利潤：（銷售價格 - 材料成本）× 生產數量 - 設備租金

本題中如果設備租金很高，決策結果就可能是什么都不做時利潤最大，這是利潤為 0，至少不虧。

現在可以用固定費用問題的數學模型來描述問題了：

設 $x_i$ 為是否生產第 $i$ 種服裝，$x_i$ 是 0/1變量：
$$x_i=\{\begin{array}{l}0，不生產第i種服裝\\ 1，生產第i種服裝，i=1,2,3\end{array}$$

設 $y_i$ 為生產第 $i$ 種服裝的數量， $y_i$ 是整數類型。說 $y_i$ 是實數變量的同學，你經常穿半條褲子嗎？

根據條件確定決策變量的取值范圍。例如，本例中的產量 $y_i$ 顯然要大于等于 0。進一步地，題目并沒有直接給出 $y_i$ 的取值上限，但可以從設備單件工時與設備可用工時的關系推導出取值上限為 [100, 600, 150]，也可以從單位人工工時與人工可用工時的關系推導出上限 [400, 2000, 500]，最后取較小者為 [100, 600, 150]。

數學模型就可以表達為：
$$\begin{gathered} maxz=120y_1+10y_2+100y_3?5000x_1?2000x_2?2000x_3 \\ s.t.:?\begin{array}{l}5y_1+y_2+4y_3\le 2000\\ 3y_1\le 300x_1\\ 0.5y_2\le 300x_2\\ 2y_3\le 300x_3\\ 0\le y_1\le 100\\ 0\le y_2\le 600\\ 0\le y_3\le 150\end{array} \end{gathered}$$

1.4 PuLP 求解固定費用問題的編程

編程求解建立的數學模型，用標準模型的優化算法對模型求解，得到優化結果。

模型求解的編程步驟與之前的線性規劃、整數規劃問題并沒有什么區別，這就是 PuLP工具包的優勢。

（0）導入 PuLP庫函數

import pulp

（1）定義一個規劃問題

FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值

pulp.LpProblem 用來定義問題的構造函數。"FixedCostP1"是用戶定義的問題名。
參數 sense 指定問題求目標函數的最小值/最大值 。本例求最大值，選擇 “pulp.LpMaximize” 。

（2）定義決策變量

x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產 A 產品x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產 B 產品x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產 C 產品y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量y3 = pulp.LpVariable('youCans', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量

pulp.LpVariable 用來定義決策變量的函數。參數 cat 用來設定變量類型，’ Binary ’ 表示0/1變量（用于0/1規劃問題），’ Integer ’ 表示整數變量。‘lowBound’、‘upBound’ 分別表示變量取值范圍的下限和上限。

（3）添加目標函數

FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設置目標函數 f(x)

（4）添加約束條件

FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000) # 不等式約束FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0) # 不等式約束

添加約束條件使用 “問題名 += 約束條件表達式” 格式。
　　約束條件可以是等式約束或不等式約束，不等式約束可以是 小于等于 或 大于等于，分別使用關鍵字">="、"<=“和”=="。

（5）求解

FixedCostP1.solve()

solve() 是求解函數，可以對求解器、求解精度進行設置。

1.5 Python 例程：固定費用問題

# mathmodel07_v1.py # Demo05 of mathematical modeling algorithm # Solving assignment problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-06-04 # Python小白的數學建模課 @ Youcansimport pulp # 導入 pulp 庫# 主程序 def main():# 固定費用問題(Fixed cost problem)print("固定費用問題(Fixed cost problem)")# 問題建模："""決策變量：y(i) = 0, 不生產第 i 種產品y(i) = 1, 生產第 i 種產品 x(i), 生產第 i 種產品的數量, i>=0 整數i=1,2,3目標函數：min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3約束條件：5x1 + x2 + 4x3 <= 20003x1 <= 300y10.5x2 <= 300y22x3 <= 300y3變量取值范圍：Youcans XUPT0<=x1<=100, 0<=x2<=600, 0<=x3<=150, 整數變量y1, y2 ,y3 為 0/1 變量 """# 1. 固定費用問題(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解# (1) 建立優化問題 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize)FixedCostP1 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_1", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值# (2) 建立變量x1 = pulp.LpVariable('A', cat='Binary') # 定義 x1，0-1變量，是否生產 A 產品x2 = pulp.LpVariable('B', cat='Binary') # 定義 x2，0-1變量，是否生產 B 產品x3 = pulp.LpVariable('C', cat='Binary') # 定義 x3，0-1變量，是否生產 C 產品y1 = pulp.LpVariable('yieldA', lowBound=0, upBound=100, cat='Integer') # 定義 y1，整型變量y2 = pulp.LpVariable('yieldB', lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義 y2，整型變量y3 = pulp.LpVariable('yieldC', lowBound=0, upBound=150, cat='Integer') # 定義 y3，整型變量# (3) 設置目標函數FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設置目標函數 f(x)# (4) 設置約束條件FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000) # 不等式約束FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0) # 不等式約束# (5) 求解 youcansFixedCostP1.solve()# (6) 打印結果print(FixedCostP1.name)if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == "Optimal": # 獲得最優解for v in FixedCostP1.variables(): # youcansprint(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優值print("Youcans F(x) = ", pulp.value(FixedCostP1.objective)) # 輸出最優解的目標函數值returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的數學建模課 @ Youcans

1.6 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution foundFixed_cost_problem_1 A = 1.0 B = 1.0 C = 1.0 yieldA = 100.0 yieldB = 600.0 yieldC = 150.0 Max F(x) = 24000.0

從固定費用問題模型的求解結果可知，A、B、C 三種服裝都生產，產量分別為 A/100、B/600、C/150 時獲得最大利潤為：24000。

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2. PuLP 求解規劃問題的快捷方法

2.1 PuLP 求解固定費用問題的編程

通過從線性規劃、整數規劃、0-1規劃到上例中的混合0-1規劃問題，我們已經充分體會到 PuLP 使用相同的步驟和參數處理不同問題所帶來的便利。

但是，如果問題非常復雜，例如變量數量很多，約束條件復雜，逐個定義變量、逐項編寫目標函數與約束條件的表達式，不僅顯得重復冗長，不方便修改對變量和參數的定義，而且在輸入過程中容易發生錯誤。因此，我們希望用字典、列表、循環等快捷方法來進行變量定義、目標函數和約束條件設置。

PuLP 提供了快捷建模的編程方案，下面我們仍以上節中的固定費用問題為例進行介紹。本例中的問題、條件和參數都與上節完全相同，以便讀者進行對照比較快捷方法的具體內容。

（0）導入 PuLP 庫函數

import pulp

（1）定義一個規劃問題

FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值

（2）定義決策變量

types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產品種類status = pulp.LpVariable.dicts("生產決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產該產品yields = pulp.LpVariable.dicts("生產數量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量

本例中的快捷方法使用列表 types 定義 0/1 變量 status 和 整型變量 yields，不論產品的品種有多少，都只有以上幾句，從而使程序大為簡化。

（3）添加目標函數

fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產品的 固定費用unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產品的 單位利潤FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])

雖然看起來本例中定義目標函數的程序語句較長，但由于使用字典定義參數、使用 for 循環定義目標函數，因此程序更加清晰、簡明、便于修改參數、不容易輸入錯誤。

（4）添加約束條件

humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產品的 單位人工工時machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產品的 單位設備工時maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產品的 最大設備工時FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000 # 不等式約束for i in types:FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0) # 不等式約束

快捷方法對于約束條件的定義與對目標函數的定義相似，使用字典定義參數，使用循環定義約束條件，使程序簡單、結構清楚。

注意本例使用了兩種不同的循環表達方式：語句內使用 for 循環遍歷列表實現所有變量的線性組合，標準的 for 循環結構實現多組具有相似結構的約束條件。讀者可以對照數學模型及上例的例程，理解這兩種定義約束條件的快捷方法。

（5）求解和結果的輸出

# (5) 求解FixedCostP2.solve()# (6) 打印結果print(FixedCostP2.name)temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產數量為：%(yields)d"if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優解for i in types:output = {'type': i,'status': '同意' if status[i].varValue else '否決','yields': yields[i].varValue}print(temple % output) # youcans@qq.comprint("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優解的目標函數值

由于快捷方法使用列表或字典定義變量，對求解的優化結果也便于實現結構化的輸出。

2.2 Python 例程：PuLP 快捷方法

# mathmodel07_v1.py # Demo05 of mathematical modeling algorithm # Solving assignment problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-06-04 # Python小白的數學建模課 @ Youcansimport pulp # 導入 pulp 庫# 主程序 def main():# 2. 問題同上，PuLP 快捷方法示例# (1) 建立優化問題 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize)FixedCostP2 = pulp.LpProblem("Fixed_cost_problem_2", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值# (2) 建立變量types = ['A', 'B', 'C'] # 定義產品種類status = pulp.LpVariable.dicts("生產決策", types, cat='Binary') # 定義 0/1 變量，是否生產該產品yields = pulp.LpVariable.dicts("生產數量", types, lowBound=0, upBound=600, cat='Integer') # 定義整型變量# (3) 設置目標函數fixedCost = {'A':5000, 'B':2000, 'C':2000} # 各產品的 固定費用unitProfit = {'A':120, 'B':10, 'C':100} # 各產品的 單位利潤FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])# (4) 設置約束條件humanHours = {'A':5, 'B':1, 'C':4} # 各產品的 單位人工工時machineHours = {'A':3.0, 'B':0.5, 'C':2.0} # 各產品的 單位設備工時maxHours = {'A':300, 'B':300, 'C':300} # 各產品的 最大設備工時FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000 # 不等式約束for i in types:FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0) # 不等式約束# (5) 求解 youcansFixedCostP2.solve()# (6) 打印結果print(FixedCostP2.name)temple = "品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產數量為：%(yields)d"if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == "Optimal": # 獲得最優解for i in types:output = {'type': i,'status': '同意' if status[i].varValue else '否決','yields': yields[i].varValue}print(temple % output)print("最大利潤 = ", pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優解的目標函數值returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的數學建模課 @ Youcans

2.3 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution foundFixed_cost_problem_2 品種 A 的決策是：同意，生產數量為：100 品種 B 的決策是：同意，生產數量為：600 品種 C 的決策是：同意，生產數量為：150 最大利潤 = 24000.0

本例的問題、條件和參數都與上節完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的編程方案，優化結果也與 PuLP 標準方法完全相同，但本例使用了結構化的輸出顯示，使輸出結果更為直觀。

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3. 課后練習

修改生產某種服裝的設備租金，例如將 A 產品租金調整為 10000、20000元，觀察求解結果有何差異？

將各種設備租金都調整為 20000元，觀察求解結果有何差異？該結果有何現實意義？

如果希望找到影響是否生產某種服裝決策的設備租金的大小，即租金低于該值就可以生產、高于該值則不能生產，應該如何處理？

【本節完】

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Python小白的数学建模课-06.固定费用问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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