選址問題是要選擇設施位置使目標達到最優，是數模競賽中的常見題型。

小白不一定要掌握所有的選址問題，但要能判斷是哪一類問題，用哪個模型。

進一步學習 PuLP工具包中處理復雜問題的字典格式快捷建模方法。

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1. 選址問題

選址問題是指在某個區域內選擇設施的位置使所需的目標達到最優。選址問題也是一種互斥的計劃問題。

例如投資場所的選址：企業要在 m 個候選位置選擇若干個建廠，已知建廠費用、運輸費及 n 個地區的產品需求量，應如何進行選址。

選址問題是運籌學中經典的問題之一，選址問題在生產生活、物流、甚至軍事中都有著非常廣泛的應用，如工廠、倉庫、急救中心、消防站、垃圾處理中心、物流中心、導彈倉庫的選址等。更重要的，選址問題也是數模競賽的熱點問題。

選址是重要的長期決策，選址的好壞直接影響到服務方式、服務質量、服務效率、服務成本等，從而影響到利潤和市場競爭力，選址問題的研究有著重大的經濟、社會和軍事意義。

選址問題有四個基本要素：設施、區域、距離和優化目標。

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Python小白的數學建模課-04.整數規劃
Python小白的數學建模課-05.0-1規劃
Python小白的數學建模課-06.固定費用問題
Python小白的數學建模課-07.選址問題
Python小白的數學建模課-09.微分方程模型
Python小白的數學建模課-10.微分方程邊值問題
Python小白的數學建模課-12.非線性規劃
Python小白的數學建模課-15.圖論的基本概念
Python小白的數學建模課-16.最短路徑算法
Python小白的數學建模課-17.條件最短路徑算法

1.1 設施

選址問題加粗樣式中所說的設施，在具體題目中可以是工廠、倉庫、服務站等形式。

1.2 區域

選址問題中所說的區域，在具體題目中可以是工廠、車間的內部布局，也可以是給定的某個地區、甚至空間范圍。

按照規劃區域的特征，可以分為連續選址問題和離散選址問題。連續選址問題，設施可以布局在區域內的任意位置，就要求出最優選址的坐標；離散選址問題，只能從若干候選位置中進行選擇，運籌學中的選址問題通常是這類離散選址問題。

1.3 距離

選址問題中所說的距離，是指設施到服務對象之間的距離，在具體題目中也可以是某個選址位置的服務時間、成本、覆蓋范圍。如果用圖論方法求解，通常就是連接頂點的邊的權值。

當問題所關注的是設施到服務對象之間的距離時，如果問題給出的不是頂點之間的距離，而是設施的位置坐標，要注意不是只有歐式距離，對于不同問題也可能是球面距離、曼哈頓距離、切比雪夫距離。

1.4 優化目標

選址問題要求選擇最好的選址位置，但選址位置只是決策變量，選擇的最終目的通常是實現加權距離最短、費用最小、利潤最大、時間最短，這才是優化問題的目標函數。

按照目標函數的特點，可以分為：中位問題，要求總成本最小；中心問題，服務于每個客戶的最大成本最小；反中心問題：服務于每個客戶的最小成本最大。

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2. 常見選址問題及建模

2.1 P-中位問題（P-median problem）

P-中位問題，假設有 N 個候選服務站和 M 個需求點，要從 N 個候選服務站中選擇 P 個，使所有需求點到最近的服務站的加權距離 $d_{ij}$ 的總和最小。需求點 i 的權值，通常是指該需求點的需求量。

這是一個 MinSum 問題，定義決策變量 $x_j$ 為選中的服務站，$y_{ij}$ 將各需求點匹配到最近的服務站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服務站j被選中\\ 0，& 服務站j未被選中\end{array}$$
$$y_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 需求點i由服務站j服務\\ 0，& 需求點i不由服務站j服務\end{array}$$
可以建立數學模型如下：

$$\begin{gathered} min\sum _{i\in M}\sum _{j\in N}{w}_i{d}_{ij}{y}_{ij} \\ s.t.:?\begin{array}{l}{\sum }_{j\in N}{x}_j=P\\ {\sum }_{j\in N}{y}_{ij}=1，?i\\ y_{ij}?x_j\le 0，?i,j\\ x_j\in \{0,1\},y_{ij}\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 為服務站，i 為需求點，$w_i$ 為需求點 i 的需求量， $d_{ij}$ 為需求點 i 到服務站 j 的距離。

2.2 P-中心問題

P-中心問題，假設有 N 個候選服務站和 M 個需求點，要從 N個候選服務站中選擇 P個，使任一需求點到最近的服務站的最大距離最小。

這是一個 MinMax 問題，需要最小化任何需求點與其鄰近設施點的最大距離。P-中位問題追求總和最小，可以理解為發展經濟總量優先；P-中心問題關注最差個體的最好結果，可以理解為優先進行扶貧。

定義決策變量 $x_j$ 為選中的服務站，$y_{ij}$ 將各需求點匹配到最近的服務站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服務站j被選中\\ 0，& 服務站j未被選中\end{array}$$

$$y_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 需求點i由服務站j服務\\ 0，& 需求點i不由服務站j服務\end{array}$$

可以建立數學模型如下：

$$\begin{gathered} minD \\ s.t.:?\begin{array}{l}{\sum }_{j\in N}{w}_i{d}_{ij}{y}_{ij}\le D,?i\\ {\sum }_{j\in N}{x}_j=P\\ {\sum }_{j\in N}{y}_{ij}=1,?i\\ y_{ij}?x_j\le 0,?i,j\\ x_j\in \{0,1\},y_{ij}\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 為服務站，i 為需求點， $d_{ij}$ 為需求點 i 到服務站 j 的距離。如果只求需求點到最近的服務站的最大距離，則 $w_i=1$ ；如果要求任一需求點到最近的服務站的最大運費，則 $w_i$ 為需求點 i 的需求量，即加權最大距離。

2.3 集合覆蓋問題

覆蓋模型適用于一些特殊場景，例如消防中心、救護車、巡邏車等應急設施的區位選址問題。覆蓋問題分為集合覆蓋問題（Set covering problem）和最大覆蓋問題（Maximal covering problem）。

集合覆蓋問題研究滿足覆蓋所有需求點顧客的前提下，服務站的最少個數或建設費用最小的問題。假設有 N 個候選服務站和 M 個需求點，已知每個服務站的服務范圍（或服務容量），要從 N個候選服務站中選擇若干個，使所有需求點得到服務（到所屬服務站的距離或時間小于給定的臨界值），服務站的個數最少或成本最小。

定義參數 $a_{ij}$ 為每個服務站的覆蓋范圍：

$$a_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 服務站j可以覆蓋需求點i\\ 0，& 服務站j不能覆蓋需求點i\end{array}$$

定義決策變量 $x_j$ 為選中的服務站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服務站j被選中\\ 0，& 服務站j未被選中\end{array}$$

可以建立數學模型如下：

$$\begin{gathered} min\sum _{j\in N}{c}_j{x}_j \\ s.t.:\{\begin{array}{l}{\sum }_{j\in N_i}{x}_j\ge 1,?i\in M\\ x_j\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 為服務站，i 為需求點，$c_j$ 為服務站 j 的建設費用（最少個數問題中不需要考慮），$N_i=\{j:a_{ij}=1\}$ 是覆蓋需求點 i 的候選服務站的集合。

2.4 最大覆蓋問題

最大覆蓋問題研究在已知服務站的數目和服務半徑的條件下，如何設立 P個服務站使得可接受的服務需求最大的問題。

定義決策變量 $x_j$ 為選中的服務站：
$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 服務站j被選中\\ 0，& 服務站j未被選中\end{array}$$
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ at position 57: …，& 需求點\ i\ 未被覆蓋\? ?\end{cases}

可以建立數學模型如下：

$$\begin{gathered} max\sum _{i\in N_i}{w}_i{z}_i \\ s.t.:?\begin{array}{l}{z}_i\le {\sum }_{j\in N_i}{x}_j,?i\in M\\ {\sum }_{j\in M}{x}_j=p\\ x_j\in \{0,1\},z_i\in \{0,1\}\end{array} \end{gathered}$$

其中：j 為服務站，i 為需求點，$w_i$ 為需求點 i 的需求量。


2.5 其它選址問題

其它選址問題，在數學建模中應用相對較少，限于篇幅不能逐一介紹其數學模型。在此將各模型的特點簡要介紹，以便判斷問題的類型。

帶固定費用和容量限制的選址問題

服務站建站的固定費用和服務站的容量（能力）限制這兩個因素具有很強的實際意義，經常作為基本選址問題的深化研究課題。
無容量限制的固定費用下的選址問題，就是去掉服務站個數的約束，并將固定建站費用加到 P-中位問題的目標函數上。

選址分配問題

選址分配問題類似于 P-中位問題，有 m 個服務站需要選址，n 個已知位置的顧客分配給不同的設施，已知每個服務站的能力和每個顧客的需求，要求服務站的選址和顧客對服務站的分配，使顧客與所分配服務站的距離總和最小。

隨機選址問題
服務站的運行時間、建設成本、需求點位置、需求數量等全部或部分參數是不確定的，但服從某種隨機分布。

動態選址問題
研究未來若干時間段內服務站的最優選址問題，在不同時間段內動態選址模型的參數是變化的，但在某一時間段內模型參數是確定的。

競爭選址問題
研究考慮市場上存在兩個以上同類產品或服務的提供者，或服務站提供多個產品或服務。

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2.6 選址問題的求解算法與編程實現

設施選址問題通常是是 NP 問題，不存在多項式時間算法。常用的近似解法有：

線性規劃舍入算法，相當于整數規劃問題的求解算法。首先給出原問題的整數規劃模型，然后求解相應的線性規劃松弛問題得到分數最優解，根據可行要求對分數最優解進行改造，構造原問題的整數可行解。

原始對偶算法，首先找到對偶問題的一個可行解，再根據該對偶可行解構造原始問題的整數可行解，不斷調整對偶問題的可行解，直到找到最優解為止。

局部搜索算法：給定初始可行解，定義適當的鄰域，通過引入恰當的調整策略，在鄰域中得到改進的可行解，依次迭代，直到調整策略不能改進為止

啟發式算法或隨機優化算法。

本節作為線性規劃問題系列的一篇，仍然選擇 PuLP工具包求解選址問題。很多選址問題適合用圖論方法描述和求解，這將在后續課程中進行介紹。

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3. 案例 1：PuLP求解指派問題

說明：本案例是指派問題，不是選址問題。因指派問題未單獨成文，因此將該案例放在本文中。

另外，本案例給出了 PuLP 工具包使用字典方式快捷編程的使用方法，這在選址問題中是非常方便的。

3.1 游泳接力賽的指派問題

游泳隊中 A、B、C、D 四名運動員組成 4x100米混合泳接力隊，運動員各種泳姿的成績如下表所示 （單位：秒）：

隊員\項目自由泳蛙泳蝶泳仰泳

A	56	74	61	63
B	63	69	65	71
C	57	77	63	67
D	55	76	62	62

如何安排 A、B、C、D 四名運動員的泳姿，才最有可能取得好成績？

3.2 指派問題建模分析

引入 0-1 變量 $x_{ij}$：

$$x_{i,j}=\{\begin{array}{l}0，第i人不游第j種姿勢\\ 1，第i人游第j種姿勢，i,j=1,...4\end{array}$$

指派問題的數學模型就可以描述為：
$$\begin{gathered} minf(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(c_{ij}{x}_{ij}) \\ s.t.:?\begin{array}{l}{\sum }_{j=1}^n{x}_{ij}=1，i=1,...,n\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}=1，j=1,...,n\\ x_{ij}=0,1，i,j=1,...,n\end{array} \end{gathered}$$

其中：

$$c_{i,j}=?\begin{array}{cccc}56& 74& 61& 63\\ 63& 69& 65& 71\\ 57& 77& 63& 67\\ 55& 76& 62& 62\end{array}?$$

3.3 指派問題模型求解的編程

模型求解，用標準模型的優化算法對模型求解，得到優化結果。模型求解的編程步驟如下：

（0）導入 PuLP庫函數

import pulp

（1）定義一個規劃問題

AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize)

pulp.LpProblem 用來定義問題的構造函數。參數 sense 指定問題求目標函數的最小值/最大值 。

（2）定義決策變量

rows = cols = range(0, 4)x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")

pulp.LpVariable 用來定義決策變量的函數。參數 cat 設定變量類型，’ Binary ’ 表示 0/1 變量。

注意，指派問題、選址問題中都涉及 N*M 維矩陣變量，變量個數很多，如果逐一定義非常冗長，而且容易出錯、不便修改。本例使用 pulp.LpVariable.dicts 提供的字典格式定義了 4*4 個變量 $x_{ij}$，使程序大為簡化。

（3）添加目標函數

scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]]AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])

本例程在語句內使用兩重 for 循環遍歷列表實現所有變量的線性組合 ，使程序大為簡化。

（4）添加約束條件

for row in rows:AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4for col in cols:AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4

快捷方法對于約束條件的定義與對目標函數的定義相似，使用字典定義參數，使用循環定義約束條件，使程序簡單、結構清楚。

（5）求解和結果輸出

AssignLP.solve() # youcansprint(AssignLP.name)member = ["隊員A","隊員B","隊員C","隊員D"]style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"]if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal": # 獲得最優解xValue = [v.varValue for v in AssignLP.variables()]# [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4)) # 將 xValue 格式轉換為 4x4 矩陣print("最佳分配：" )for row in rows:print("{}\t{} 參加項目：{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])]))print("預測最好成績為：{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))

xValue 獲得的是列表變量，通過 numpy 的 reshape() 函數轉換為 4*4 矩陣，便于格式化輸出。

3.4 指派問題 Python 例程

# mathmodel08_v1.py # Demo08 of mathematical modeling algorithm # Solving assignment problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-06-02 # Python小白的數學建模課 @ Youcansimport pulp # 導入 pulp 庫 import numpy as np# 主程序 def main():# 問題建模："""決策變量：x(i,j) = 0, 第 i 個人不游第 j 種姿勢x(i,j) = 1, 第 i 個人游第 j 種姿勢i=1,4, j=1,4目標函數：min time = sum(sum(c(i,j)*x(i,j))), i=1,4, j=1,4約束條件：sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4變量取值范圍：x(i,j) = 0,1 """# 游泳比賽的指派問題 (assignment problem)# 1.建立優化問題 AssignLP: 求最小值(LpMinimize)AssignLP = pulp.LpProblem("Assignment_problem_for_swimming_relay_race", sense=pulp.LpMinimize) # 定義問題，求最小值# 2. 建立變量rows = cols = range(0, 4)x = pulp.LpVariable.dicts("x", (rows, cols), cat="Binary")# 3. 設置目標函數scoreM = [[56,74,61,63],[63,69,65,71],[57,77,63,67],[55,76,62,62]]AssignLP += pulp.lpSum([[x[row][col]*scoreM[row][col] for row in rows] for col in cols])# 4. 施加約束for row in rows:AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for col in cols]) == 1 # sum(x(i,j),j=1,4)=1, i=1,4for col in cols:AssignLP += pulp.lpSum([x[row][col] for row in rows]) == 1 # sum(x(i,j),i=1,4)=1, j=1,4# 5. 求解AssignLP.solve() # youcans# 6. 打印結果print(AssignLP.name)member = ["隊員A","隊員B","隊員C","隊員D"]style = ["自由泳","蛙泳","蝶泳","仰泳"]if pulp.LpStatus[AssignLP.status] == "Optimal": # 獲得最優解xValue = [v.varValue for v in AssignLP.variables()]# [0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0]xOpt = np.array(xValue).reshape((4, 4)) # 將 xValue 格式轉換為 4x4 矩陣print("最佳分配：" )for row in rows:print("{}\t{} 參加項目：{}".format(xOpt[row],member[row],style[np.argmax(xOpt[row])]))print("預測最好成績為：{}".format(pulp.value(AssignLP.objective)))returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的數學建模課 @ Youcans

3.5 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution foundAssignment_problem_for_swimming_relay_race 最佳分配： [0. 0. 1. 0.] 隊員A 參加項目：蝶泳 [0. 1. 0. 0.] 隊員B 參加項目：蛙泳 [1. 0. 0. 0.] 隊員C 參加項目：自由泳 [0. 0. 0. 1.] 隊員D 參加項目：仰泳 預測最好成績為：249.0

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4. 案例 2：PuLP求解選址問題

4.1 消防站的選址問題

例題 2：某城市有 8 個區，每個區最多建一個消防站，擬建設消防站到各區的最長時間如下表所示?，F要求任何區域發生火警時，消防車能在 10分鐘內趕到。在此條件下盡量減少消防站數量，應該在哪幾個區建設消防站？

區域12345678

1	7	12	18	20	24	26	25	28
2	14	5	8	15	16	18	18	18
3	19	9	4	14	10	22	16	13
4	14	15	15	10	18	15	14	18
5	20	18	12	20	9	25	14	12
6	18	21	20	16	20	6	10	15
7	22	18	20	15	16	15	5	9
8	30	22	15	20	14	18	8	6

4.2 選址問題建模分析

首先判斷這是一個集合覆蓋問題，要求從 8 個候選消防站中選擇若干個，在所有需求點得到服務的時間都小于臨界值 10分鐘的條件下，選擇消防站的數量最少。本問題不考慮各候選站點建設費用的差異，即不帶權重。

定義參數 $R_{ij}$ 為每個消防站的覆蓋范圍：
$$R_{ij}=\{\begin{array}{ll}1，& 消防站j可以覆蓋區域i\\ 0，& 消防站j不能覆蓋區域i\end{array}$$

由擬建消防站到各區的最長時間表可以得到參數 $R_{ij}$ 如下表：

區域12345678

1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	1	0	0	0	0	0
3	0	1	1	0	1	0	0	0
4	0	0	0	1	0	0	0	0
5	0	0	0	0	1	0	0	0
6	0	0	0	0	0	1	1	0
7	0	0	0	0	0	0	1	1
8	0	0	0	0	0	0	1	1

定義決策變量 $x_j$ 為選中的服務站：

$$x_j=\{\begin{array}{ll}1，& 消防站j被選中\\ 0，& 消防站j未被選中\end{array}$$

可以建立數學模型如下：

$$\begin{gathered} minf(x)=\sum _{j=1}^8{x}_j \\ s.t.:\{\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^8{x}_j{R}_{ij}\ge 1,& i=1,..8\\ x_j\in \{0,1\},& j=1,..8\end{array} \end{gathered}$$

選址問題的模型求解，用標準模型的優化算法對模型求解，得到優化結果。

模型求解的編程步驟與指派問題是一致的，且在例程中給出了詳細的注釋，就不再進行逐項解釋了。

需要注意的是，選址問題的決策變量、參數、約束條件的數量較大（N*M），如果對變量、約束條件逐個進行定義，編程過程將是非常冗長和痛苦的，因此需要使用列表、字典等快捷方式進行定義。對于更大規模的問題，模型中的數據要通過讀取數據文件獲得，就更需要采用這種方式來編程。

4.3 選址問題 Python 例程

# mathmodel09_v1.py # Demo08 of mathematical modeling algorithm # Solving set covering problem with PuLP. # Copyright 2021 Youcans, XUPT # Crated：2021-06-06 # Python小白的數學建模課 @ Youcansimport pulp # 導入 pulp 庫# 主程序 def main():# 問題建模："""決策變量：x(j) = 0, 不選擇第 j 個消防站x(j) = 1, 選擇第 j 個消防站, j=1,8目標函數：min fx = sum(x(j)), j=1,8約束條件：sum(x(j)*R(i,j),j=1,8) >=1, i=1,8變量取值范圍：x(j) = 0,1"""# 消防站的選址問題 (set covering problem, site selection of fire station)# 1.建立優化問題 SetCoverLP: 求最小值(LpMinimize)SetCoverLP = pulp.LpProblem("SetCover_problem_for_fire_station", sense=pulp.LpMinimize) # 定義問題，求最小值# 2. 建立變量zones = list(range(8)) # 定義各區域 youcansx = pulp.LpVariable.dicts("zone", zones, cat="Binary") # 定義 0/1 變量，是否在該區域設消防站# 3. 設置目標函數SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j] for j in range(8)]) # 設置消防站的個數# 4. 施加約束reachable = [[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],[0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1],[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]] # 參數矩陣，第 i 消防站能否在 10分鐘內到達第 j 區域for i in range(8):SetCoverLP += pulp.lpSum([x[j]*reachable[j][i] for j in range(8)]) >= 1# 5. 求解SetCoverLP.solve()# 6. 打印結果print(SetCoverLP.name)temple = "區域 %(zone)d 的決策是：%(status)s" # 格式化輸出if pulp.LpStatus[SetCoverLP.status] == "Optimal": # 獲得最優解for i in range(8):output = {'zone': i+1, # 與問題中區域 1~8 一致'status': '建站' if x[i].varValue else '--'}print(temple % output)print("需要建立 {} 個消防站。".format(pulp.value(SetCoverLP.objective)))returnif __name__ == '__main__': # Copyright 2021 YouCans, XUPTmain() # Python小白的數學建模課 @ Youcans

4.4 Python 例程運行結果

Welcome to the CBC MILP Solver Version: 2.9.0 Build Date: Feb 12 2015 Result - Optimal solution foundSetCover_problem_for_fire_station 區域 1 的決策是：建站 區域 2 的決策是：-- 區域 3 的決策是：建站 區域 4 的決策是：建站 區域 5 的決策是：-- 區域 6 的決策是：建站 區域 7 的決策是：建站 區域 8 的決策是：-- 需要建立 5.0 個消防站

5. 小結

關于規劃問題，我們從線性規劃、整數規劃、0-1規劃到一些特殊類型問題，用 5節課進行了介紹，到這里就暫告一段落了。后面根據需要，可能還會講非線性規劃，實際上主要是非線性優化問題了。

雖然各種規劃問題的求解算法差別很大，但我們所用的編程實現方法都是基于 PuLP工具包，編程步驟都是一致的。

本系列集中體現了與其它課程的區別，沒有展開講算法的實現步驟，而是重點講編程方法的選擇、建立模型方程的過程和編程實現的步驟，這主要是為了便于小白學習和掌握。

【本節完】

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總結

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