1、生成樹和最小生成樹

1.1 生成樹

連通的無圈圖稱為樹，就是不包含循環的回路的連通圖。

對于無向連通圖，生成樹（Spanning tree）是原圖的極小連通子圖，它包含原圖中的所有 n 個頂點，并且有保持圖連通的最少的邊，即只有足以構成一棵樹的 n-1 條邊。

生成樹滿足：

• （1）包含連通圖中所有的頂點；
• （2）任意兩頂點之間有且僅有一條通路。

因此，生成樹中邊的數量 = 頂點數 - 1。

對于非連通無向圖， 遍歷每個連通分量中的頂點集合所經過的邊是多顆生成樹，這些連通分量的生成樹構成非連通圖的生成森林 。

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1.2 最小生成樹和最大生成樹

遍歷連通圖的方式有多種，也就是說對于一張連通圖，可能有多種不同的生成樹。

帶權的連通圖的生成樹中各條邊的權重之和最小的生成樹，稱為最小生成樹（minimum spanning tree，MST），也稱最小權重生成樹。

對應地，各條邊的權重之和最大的生成樹，稱為最大生成樹。

生成樹和最小生成樹有許多重要的應用。例如在若干城市之間鋪設通信線路，使任意兩個城市之間都可以通信，要使鋪設線路的總費用最低，就需要找到最小生成樹。

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2、最小生成樹算法

構造最小生成樹的算法很多，通常是基于MST性質，從空樹開始，按照貪心法逐步選擇并加入 n-1 條安全邊（不產生回路），最終生成一棵最小生成樹。

最小生成樹的典型算法有普里姆算法（Prim算法）和克魯斯卡算法（Kruskal算法）。

2.1 普里姆算法（Prim算法）

Prim 算法以頂點為基礎構造最小生成樹：從某一個頂點 s 開始，每次選擇剩余的代價最小的邊所對應的頂點，加入到最小生成樹的頂點集合中，逐步擴充直到包含整個連通網的所有頂點，可以稱為“加點法”。Prim算法中每個頂點只與連通圖連接一次，因此不用考慮在加入頂點的過程中是否會形成回路。

Prim 算法中圖的存貯結構采用鄰接矩陣，使用一個頂點集合 u 構造最小生成樹。由于不斷向集合u中加點，還需要建立一個輔助數組來同步更新最小代價邊的信息。

Prim 算法每次選擇頂點時，都需要進行排序，但每次都只需要對一部分邊進行排序。Prim 算法的時間復雜度為 O(n*n)，與邊的數量無關，適用于邊很多的稠密圖。采用堆實現優先隊列來維護最小點，可以將Prim算法的時間復雜度降低到 O(mlogn)，稱為Prim_heap 算法，但該算法的空間消耗很大。

2.2 克魯斯卡算法（Kruskal算法）

Kruskal 算法以邊為基礎構造最小生成樹：初始邊數為 0，每次選擇一條滿足條件的最小代價邊，加入到邊集合中，逐步擴充直到包含整個生成樹，可以稱為“加邊法”。Kruskal 算法是利用避圈思想，每次找到不使圖構成回路的代價最小的邊。

Kruskal 算法中圖的存貯結構采用邊集數組，權值相等的邊在數組中的排列次序是任意的。

Kruskal算法開始就要對所有的邊進行排序，之后還需要對所有邊應用 Union-Find算法，但不再需要排序。Kruskal 算法的時間復雜度為 O(mlogm)，主要是對邊排序的時間復雜度，適用于邊較少的稀疏圖。

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3、NetworkX 的最小生成樹算法

3.1 最小/最大生成樹函數

函數功能

minimum_spanning_tree(G[, weight,…])	計算無向圖上的最小生成樹
maximum_spanning_tree(G[, weight,…])	計算無向圖上的最大生成樹
minimum_spanning_edges(G[, algorithm,…])	計算無向加權圖最小生成樹的邊
maximum_spanning_edges(G[, algorithm,…])	計算無向加權圖最大生成樹的邊

3.2 minimum_spanning_tree() 使用說明

minimum_spanning_tree(G, weight=‘weight’, algorithm=‘kruskal’, ignore_nan=False)

minimum_spanning_edges(G, algorithm=‘kruskal’, weight=‘weight’, keys=True, data=True, ignore_nan=False)

minimum_spanning_tree() 用于計算無向連通圖的最小生成樹（森林）。minimum_spanning_edges() 用于計算無向連通圖的最小生成樹（森林）的邊。
對于連通無向圖，計算最小生成樹；對于非連通無向圖，計算最小生成森林。

主要參數：

• G(undirected graph)：無向圖。
• weight(str)：指定用作計算權重的邊屬性。
• algorithm(string)：計算最小生成樹的算法，可選項為 ‘kruskal’、‘prim’ 或 ‘boruvka’。默認算法為 ‘kruskal’。
• data(bool)：指定返回值是否包括邊的權值。
• ignore_nan(bool) ：在邊的權重為 Nan 時產生異常。

返回值：

• minimum_spanning_tree() 的返回值是最小生成樹，類型為<class ‘networkx.classes.graph.Graph’> 。
• minimum_spanning_edges() 的返回值是最小生成樹的構成邊，類型為<class ‘generator’>。

3.3 minimum_spanning_tree() 算法使用例程

本案例問題來自：司守奎、孫兆亮，數學建模算法與應用（第2版），P48，例4.5，國防工業出版社。

例：最小生成樹問題。已知如圖的有權無向圖，求最小生成樹。

# networkX_E4.py # Demo of minimum spanning tree(MST) with NetworkX # Copyright 2021 YouCans, XUPT # Crated：2021-05-21import matplotlib.pyplot as plt # 導入 Matplotlib 工具包 import networkx as nx # 導入 NetworkX 工具包G = nx.Graph() # 創建：空的 無向圖 G.add_weighted_edges_from([(1,2,50),(1,3,60),(2,4,65),(2,5,40),(3,4,52),(3,7,45),(4,5,50),(4,6,30),(4,7,42),(5,6,70)]) # 向圖中添加多條賦權邊: (node1,node2,weight)T = nx.minimum_spanning_tree(G) # 返回包括最小生成樹的圖 print(T.nodes) # [1, 2, 3, 4, 5, 7, 6] print(T.edges) # [(1,2), (2,5), (3,7), (4,6), (4,7), (4,5)] print(sorted(T.edges)) # [(1,2), (2,5), (3,7), (4,5), (4,6), (4,7)] print(sorted(T.edges(data=True))) # data=True 表示返回值包括邊的權重 # [(1,2,{'weight':50}), (2,5,{'weight':40}), (3,7,{'weight':45}), (4,5,{'weight':50}), (4,6,{'weight':30}), (4,7,{'weight':42})]mst1 = nx.tree.minimum_spanning_edges(G, algorithm="kruskal") # 返回值 帶權的邊 print(list(mst1)) # [(4,6,{'weight':30}), (2,5,{'weight':40}), (4,7,{'weight':42}), (3,7,{'weight':45}), (1,2,{'weight':50}), (4,5,{'weight':50})] mst2 = nx.tree.minimum_spanning_edges(G, algorithm="prim",data=False) # data=False 表示返回值不帶權 print(list(mst2)) # [(1,2), (2,5), (5,4), (4,6), (4,7), (7,3)]pos={1:(2.5,10),2:(0,5),3:(7.5,10),4:(5,5),5:(2.5,0),6:(7.5,0),7:(10,5)} # 指定頂點位置 nx.draw(G, pos, with_labels=True, alpha=0.8) # 繪制無向圖 labels = nx.get_edge_attributes(G,'weight') # YouCans, XUPT nx.draw_networkx_edge_labels(G,pos,edge_labels=labels, font_color='c') # 顯示邊的權值 nx.draw_networkx_edges(G,pos,edgelist=T.edges,edge_color='r',width=4) # 設置指定邊的顏色 plt.show()

3.4 程序運行結果

[1, 2, 3, 4, 5, 7, 6] [(1, 2), (2, 5), (3, 7), (4, 6), (4, 7), (4, 5)] [(1, 2), (2, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7)] [(1, 2, {'weight': 50}), (2, 5, {'weight': 40}), (3, 7, {'weight': 45}), (4, 5, {'weight': 50}), (4, 6, {'weight': 30}), (4, 7, {'weight': 42})] [(4, 6, {'weight': 30}), (2, 5, {'weight': 40}), (4, 7, {'weight': 42}), (3, 7, {'weight': 45}), (1, 2, {'weight': 50}), (4, 5, {'weight': 50})] [(1, 2), (2, 5), (5, 4), (4, 6), (4, 7), (7, 3)]

3.5 程序說明

圖的輸入。本例為稀疏的有權無向圖，使用 G.add_weighted_edges_from() 函數可以使用列表向圖中添加多條賦權邊，每個賦權邊以元組 (node1,node2,weight) 表示。

nx.minimum_spanning_tree() 和 nx.tree.minimum_spanning_edges() 都可以計算最小生成樹，參數設置和屬性也基本一致。區別主要在于返回值：nx.minimum_spanning_tree() 返回值是最小生成樹構成的圖（‘Graph’），需要用 T.edges() 調用對應的最小生成樹的邊。nx.tree.minimum_spanning_edges() 返回值是最小生成樹的構成邊（‘generator’），需要用 list() 轉換為列表數據。

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版權說明：
YouCans 原創作品：Python 數模筆記

本文內容及例程為作者原創，并非轉載書籍或網絡內容。
本文中案例問題來自：司守奎、孫兆亮，數學建模算法與應用（第2版），國防工業出版社

YouCans 原創作品，轉載需標注原始鏈接。
Copyright 2021 YouCans, XUPT
Crated：2021-05-21

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Python数模笔记-NetworkX（4）最小生成树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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