平衡二叉樹實現(xiàn)原理

平衡二叉樹構(gòu)建的基本思想就是在構(gòu)建二叉排序樹的過程中，每當插入一個結(jié)點時，先檢查是否因插入而破壞了樹的平衡性，若是，則找出最小不平衡子樹。在保持二叉排序樹特性的前提下，調(diào)整最小不平衡子樹中各結(jié)點之間的鏈接關(guān)系，進行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，使之成為新的平衡子樹。 下面講解一個平衡二叉樹構(gòu)建過程的例子。現(xiàn)在又a[10] = {3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8}需要構(gòu)建二叉排序樹。在沒有學習平衡二叉樹之前，根據(jù)二叉排序樹的特性，通常會將它構(gòu)建成如下左圖。雖然完全符合二叉排序樹的定義，但是對這樣高度達到8的二叉樹來說，查找是非常不利的。因此，更加期望構(gòu)建出如下右圖的樣子，高度為4的二叉排序樹，這樣才可以提供高效的查找效率。

現(xiàn)在來看看如何將一個數(shù)組構(gòu)成出如上右圖的樹結(jié)構(gòu)。 對于數(shù)組a的前兩位3和2，很正常地構(gòu)建，到了第個數(shù)“1”時，發(fā)現(xiàn)此時根結(jié)點“3”的平衡因子變成了2，此時整棵樹都成了最小不平衡子樹，需要進行調(diào)整，如下圖圖1(結(jié)點左上角數(shù)字為平衡因子BF值)。因為BF為正，因此將整個樹進行右旋(順時針)，此時結(jié)點2成了根結(jié)點，3成了2的右孩子，這樣三個結(jié)點的BF值均為0，非常的平衡，如下圖圖2所示。

然后再增加結(jié)點4，平衡因子沒有改變，如上圖圖3。增加結(jié)點5時，結(jié)點3的BF值為-2，說明要旋轉(zhuǎn)了。由于BF是負值，對這棵最小平衡子樹進行左旋(逆時針旋轉(zhuǎn))，如下圖圖4，此時整個樹又達到了平衡。

繼續(xù)增加結(jié)點6時，發(fā)現(xiàn)根結(jié)點2的BF值變成了-2，如下圖圖6所示。所以對根結(jié)點進行了左旋，注意此時本來結(jié)點3是結(jié)點3的左孩子，由于旋轉(zhuǎn)后需要滿足二叉排序樹特性，因此它成了結(jié)點2的右孩子，如圖7所示。

增加結(jié)點7，同樣的左旋轉(zhuǎn)，使得整棵樹達到平衡，如下圖8和9所示。

當增加結(jié)點10時，結(jié)構(gòu)無變化，如圖10所示。再增加結(jié)點9，此時結(jié)點7的BF變成了-2，理論上只需要旋轉(zhuǎn)最小不平衡樹7、9、10即可，但是，如果左旋轉(zhuǎn)后，結(jié)點9變成了10的右孩子，這是不符合二叉排序樹的特性的，此時不能簡單的左旋。如圖11所示。

仔細觀察圖11，發(fā)現(xiàn)根本原因在于結(jié)點7的BF是-2，而結(jié)點10的BF是1，也就是說，它們兩個一正一負，符號并不統(tǒng)一，而前面的幾次旋轉(zhuǎn)，無論左還是右旋，最小不平衡子樹的根結(jié)點與它的子結(jié)點符號都是相同的。這就是不能直接旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵。 不統(tǒng)一，不統(tǒng)一就把它們先轉(zhuǎn)到符號統(tǒng)一再說，于是先對結(jié)點9和結(jié)點10進行右旋，使得結(jié)點10成了9的右子樹，結(jié)點9的BF為-1，此時就與結(jié)點7的BF值符號統(tǒng)一了，如圖12所示。

這樣再以結(jié)點7為最小不平衡子樹進行左旋，得到如下圖13。接著，插入8，情況與剛才類似，結(jié)點6的BF是-2，而它的右孩子9的BF是1，如圖14，因此首先以9為根結(jié)點，進行右旋，得到圖15，此時結(jié)點6和結(jié)點7的符號都是負，再以6為根結(jié)點左旋，最終得到最后的平衡二叉樹，如圖16所示。

通過這個例子，可以發(fā)現(xiàn)，當最小不平衡樹根結(jié)點的平衡因子BF是大于1時，就右旋，小于-1時就左旋，如上例中的結(jié)點1、5、6、7的插入等。插入結(jié)點后，最小不平衡子樹的BF與它的子樹的BF符號相反時，就需要對結(jié)點先進行一次旋轉(zhuǎn)以使得符號相同后，再反向旋轉(zhuǎn)一次才能夠完成平衡操作，如上例中結(jié)點9、8的插入時。

總結(jié)

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