大學物理和高中物理的銜接教學已經(jīng)受到大學教師足夠的重視和研究[1-3]。大學物理的數(shù)學基礎是大學數(shù)學,特別是微積分和概率論。關于大學物理和大學數(shù)學課程的有效銜接和融匯教學國內(nèi)也有初步的研究和實踐[4-6]。本文筆者在河海大學多年的《大學物理》教學經(jīng)歷中明顯感覺到學生對大學物理中所需數(shù)學知識準備不足,這既增加了大學物理課程教學的難度,也影響了學生的學習效果。具體說來,是教師在講授大學物理知識的時候,學生所需的相關數(shù)學知識在《大學數(shù)學》課程中還沒有提前或同步學習到。例如在力學部分講運用分量變量法求解動力學問題的時候,學生還沒有在《高等數(shù)學》課程中接觸常微分方程。還有的原因是,物理和數(shù)學中的術語差別導致學生不能融會貫通,從而影響學生對物理知識的理解和應用。例如對于《大學物理》中理想氣體的麥克斯韋速度和速率分布及其有關的統(tǒng)計物理量,大多數(shù)學生就不知道與概率論中的相關概念的聯(lián)系,更不會進行比較學習。麥克斯韋速度、速率分布及其相關的統(tǒng)計物理量是《大學物理》和《熱學》課程中的重點和難點部分[7-9]。要把這部分知識點在有限的時間內(nèi)講解清楚、易于學生接受,我們認為教師應該引導學生把這部分物理學知識和他們已經(jīng)具備的相關的概率論知識緊密地聯(lián)系在一起[10-12],從而讓學生快速而準確的掌握相關的物理和數(shù)學知識。本論文用概率論的語言詳細分析了麥克斯韋速度和速率分布及其統(tǒng)計物理量的物理和數(shù)學上的意義,對比分析了這些物理量與概率論中相關數(shù)學對象或概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。1麥克斯韋速度分布與正態(tài)分布理想氣體是熱力學系統(tǒng)中最簡單的研究對象。在一定溫度下,理想氣體的每一個分子都在做永不停息的無規(guī)則運動。我們無法知道每一時刻每個分子的速度,但所有這些分子的速度卻服從統(tǒng)計規(guī)律,即麥克斯韋速度分布。它的具體函數(shù)表達式為M=?2??3/2e-?2/2??,(1)其中T是平衡態(tài)下的溫度,k是玻爾茲曼常數(shù),m和分別為分子的質(zhì)量和速度。麥克斯韋速度分布函數(shù)的物理意義是分子速度在到+d之間的分子占氣體總分子數(shù)的比率為M?d??d??d??。對分子所有可能的速度進行積分即得到歸一化條件:-+-+-+M?d??d??d??=1.(2)由于三維理想氣體的各向同性性質(zhì),麥克斯韋速度分布函數(shù)可以寫成直角坐標系中三個獨立方向上的分布函數(shù)的乘積形式:M?=g??g??g??,(3)其中g??=?2??1/2e-???2/2??(4)表示理想氣體關于方向上的速度分量的分布函數(shù)。在數(shù)學上,這其實就是一個一維的正態(tài)(高斯)分布??灐??,它的概率密度函數(shù)的標準形式是N??=?2e-????222.(5)比較公式(4)和(5),得到隨機變量(速度分量)的期(1)(2)(3)(4)(5)望(平均值)=(??)=0,方差??th?和標準差?th?.。所以用概率論的語言說,麥克斯韋速度分布函數(shù)M是關于三個獨立速度分量的聯(lián)合概率密度。換句話說,麥克斯韋速度分布其實就是一種特殊的三維正態(tài)分布thth,其中向量值期望=()=0,協(xié)方差矩陣C為對角矩陣且對角元均為?th?.,各隨機變量分量,即速度分量的相關系數(shù)為0。一般地,可以證明n維理想氣體滿足的麥克斯韋速度分布是一個n維的各速度分量獨立的正態(tài)分布。圖1展示了二維理想氣體的速度分布函數(shù)。2麥克斯韋速率分布與分布考慮到理想氣體的各向同性,可以推斷氣體分子的速度分布只與速度的大小(速率)有關,而與速度的方向無關,這也可以從麥克斯韋速度分布公式(1)中直接看出來。因此,若用球坐標系描述氣體分子的速度分布,可以得到分布函數(shù)M只與速度的徑向分量即速率有關,而與極角和方位角無關。M對速度空

總結

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