蒙特卡羅方法介紹(一)

一、蒙特卡羅方法的基本思想和解題步驟

1.1 蒙特卡羅方法的基本思想

蒙特卡羅方法也稱隨機(jī)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)或統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)發(fā)，其基本思想是：為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)或生產(chǎn)管理等方面的問題。首先，建立一個(gè)與求解有關(guān)的概率模型或隨機(jī)過程，使他的參數(shù)等于所求問題的解；然后通過對(duì)模型或過程的觀察或者抽樣試驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征；最后給出所求解的近似值。

概率統(tǒng)計(jì)是蒙特卡羅方法的理論基礎(chǔ)，其基本手段是隨機(jī)抽樣或者隨機(jī)變量抽樣，對(duì)于那些難以進(jìn)行的或者條件不滿足的試驗(yàn)而言，是一種極好的替代方法。

1.2 蒙特卡羅的解題步驟

蒙特卡羅方法可以解決隨機(jī)性問題和確定性問題，基本步驟如下：

建立一個(gè)與求解有關(guān)的概率模型，使求解為所構(gòu)建模型的概率分布或數(shù)學(xué)期望

對(duì)模型進(jìn)行隨機(jī)抽樣觀察，即產(chǎn)生隨機(jī)變量

用算法平均數(shù)作為所求解的近似平均值，給出所求解的統(tǒng)計(jì)估計(jì)值的方差或標(biāo)準(zhǔn)差，即解的精度。

二、蒙特卡羅求解$\pi$

2.1原理

有一個(gè)圓心為$(0,0)$，半徑為$r$的圓。

圓的面積和正方形面積之比如下：
$$\frac{\pi r^2}{(2r{)}^2}=\frac{\pi }{4}$$
我們對(duì)正方形隨機(jī)投點(diǎn)，圓的面積和正方形面積之比可以近似為圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)比上所有的點(diǎn)數(shù)。

記所有點(diǎn)數(shù)為$n$,圓內(nèi)點(diǎn)數(shù)為$c$:
$$\frac{c}{n}=\frac{\pi }{4}?\pi =\frac{4c}{n}$$
隨著$n$的增大，$\pi$值會(huì)越來越接近真實(shí)值

2.2實(shí)現(xiàn)

采用java實(shí)現(xiàn)

public static float getPi(){float result = 0;float r = 1;long n = 100000000;long count = 0;for (int i = 0; i<n; i++) {float x = (float) (Math.random()*2 -1);float y = (float) (Math.random()*2 -1);if (x*x + y*y < r*r) {count ++;}}result = (float) 4*count/n;return result;}

結(jié)果為：

參考文獻(xiàn)

蒙特卡羅方法的基本思想與解題步驟

蒙特卡洛方法的理解、推導(dǎo)和應(yīng)用

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蒙特卡罗方法介绍(一)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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