蒙特卡羅方法介紹(一)

一、蒙特卡羅方法的基本思想和解題步驟

1.1 蒙特卡羅方法的基本思想

蒙特卡羅方法也稱隨機模擬法、隨機抽樣技術或統計實驗發，其基本思想是：為了求解數學、物理、工程技術或生產管理等方面的問題。首先，建立一個與求解有關的概率模型或隨機過程，使他的參數等于所求問題的解；然后通過對模型或過程的觀察或者抽樣試驗來計算所求參數的統計特征；最后給出所求解的近似值。

概率統計是蒙特卡羅方法的理論基礎，其基本手段是隨機抽樣或者隨機變量抽樣，對于那些難以進行的或者條件不滿足的試驗而言，是一種極好的替代方法。

1.2 蒙特卡羅的解題步驟

蒙特卡羅方法可以解決隨機性問題和確定性問題，基本步驟如下：

建立一個與求解有關的概率模型，使求解為所構建模型的概率分布或數學期望

對模型進行隨機抽樣觀察，即產生隨機變量

用算法平均數作為所求解的近似平均值，給出所求解的統計估計值的方差或標準差，即解的精度。

二、蒙特卡羅求解$\pi$

2.1原理

有一個圓心為$(0,0)$，半徑為$r$的圓。

圓的面積和正方形面積之比如下：
$$\frac{\pi r^2}{(2r{)}^2}=\frac{\pi }{4}$$
我們對正方形隨機投點，圓的面積和正方形面積之比可以近似為圓內的點數比上所有的點數。

記所有點數為$n$,圓內點數為$c$:
$$\frac{c}{n}=\frac{\pi }{4}?\pi =\frac{4c}{n}$$
隨著$n$的增大，$\pi$值會越來越接近真實值

2.2實現

采用java實現

public static float getPi(){float result = 0;float r = 1;long n = 100000000;long count = 0;for (int i = 0; i<n; i++) {float x = (float) (Math.random()*2 -1);float y = (float) (Math.random()*2 -1);if (x*x + y*y < r*r) {count ++;}}result = (float) 4*count/n;return result;}

結果為：

參考文獻

蒙特卡羅方法的基本思想與解題步驟

蒙特卡洛方法的理解、推導和應用

總結

以上是生活随笔為你收集整理的蒙特卡罗方法介绍(一)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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