堆與堆排序（一）

上一篇博文 淺談優(yōu)先隊(duì)列 介紹了什么是優(yōu)先隊(duì)列，文末提到了一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)——“堆”，基于“堆”實(shí)現(xiàn)的優(yōu)先隊(duì)列，出隊(duì)和入隊(duì)的時(shí)間復(fù)雜度都為 O(logN).

這篇博文我們就走進(jìn)“堆”，看看它到底是什么結(jié)構(gòu)。

此堆非彼堆

值得注意的是，這里的“堆”不是內(nèi)存管理中提到的“堆棧”的“堆”。前者的“堆”——準(zhǔn)確地說(shuō)是二叉堆，是一種類(lèi)似于完全二叉樹(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；后者的“堆”是一種類(lèi)似于鏈表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

堆的結(jié)構(gòu)性質(zhì)

二叉堆在邏輯結(jié)構(gòu)上是一棵完全二叉樹(shù)。什么是完全二叉樹(shù)呢？即樹(shù)的每一層都是滿(mǎn)的，除了最后一層最右邊的元素有可能缺位。

如下圖所示，打錯(cuò)號(hào)的兩個(gè)不是完全二叉樹(shù)，其他都是。

對(duì)于一個(gè)有 N 個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)，我們可以為它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)指定一個(gè)索引，方法是從上至下，從左到右，從1開(kāi)始連續(xù)編號(hào)，如下圖黑色數(shù)字所示。了解二叉樹(shù)的朋友一定看出來(lái)了，這就是二叉樹(shù)的層序遍歷。

可以看出，對(duì)于一個(gè)有 N 個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)，索引值和元素是一一對(duì)應(yīng)的。所以完全二叉樹(shù)可以用一個(gè)數(shù)組來(lái)表示而不需要指針：索引值就是數(shù)組的下標(biāo)，元素的值就是節(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字。

如下圖，是一個(gè)完全二叉樹(shù)和數(shù)組的相互關(guān)系。

如果你繼續(xù)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)另一個(gè)規(guī)律：對(duì)于數(shù)組任一位置 i 上的元素，其左兒子在位置 2i 上，右兒子在2i+1上，它的父親則在位置 ?i/2??i/2?上。

以節(jié)點(diǎn) D 為例，D 的下標(biāo)是 4.

• B是它的父節(jié)點(diǎn)，B的下標(biāo)是2（=4/2），如圖中黑色的線(xiàn)；
• H是它的左孩子，H的下標(biāo)是8（=4*2），如圖中藍(lán)色的線(xiàn)；
• I是它的右孩子，I的下標(biāo)是9（=4*2+1），如圖中紅色的線(xiàn)；

堆序性質(zhì)

二叉堆一般分為兩種：最大堆和最小堆。

最大堆：也叫做大根堆。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值（或者說(shuō)關(guān)鍵字）都要大于或等于它孩子的值（對(duì)于任何葉子我們認(rèn)為這個(gè)條件都是自動(dòng)滿(mǎn)足的）。下圖就是一個(gè)最大堆。

最小堆：也叫做小根堆。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的值（或者說(shuō)關(guān)鍵字）都要小于或等于它孩子的值（對(duì)于任何葉子我們認(rèn)為這個(gè)條件都是自動(dòng)滿(mǎn)足的）。下圖就是一個(gè)最小堆。

值得注意的是：以大根堆為例，在任何從根到某個(gè)葉子的路徑上，鍵值的序列是遞減的（如果允許相等的鍵存在，則是非遞增的）。然而，鍵值之間并不存在從左到右的次序。也就是說(shuō)，在樹(shù)的同一層節(jié)點(diǎn)之間，不存在任何關(guān)系，更一般地來(lái)說(shuō)，在同一節(jié)點(diǎn)的左右子樹(shù)之間也沒(méi)有任何關(guān)系。

堆的重要特性

以大根堆為例，把堆的重要特性總結(jié)如下。

只存在一棵 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)。它的高度等于?log2n??log2?n?

堆的根總是包含了堆的最大元素

堆的一個(gè)節(jié)點(diǎn)以及該節(jié)點(diǎn)的子孫也是一個(gè)堆

可以用數(shù)組來(lái)實(shí)現(xiàn)堆，方法是用從上到下、從左到右的方式來(lái)記錄堆的元素。為了方便起見(jiàn)，可以在這種數(shù)組從 1 到 n 的位置上存放堆的元素，留下H[0]，要么讓它空著，要么在其中放一個(gè)限位器，它的值大于堆中任何一個(gè)元素。

在 4 的表示法中：

1) 父母節(jié)點(diǎn)的鍵將會(huì)位于數(shù)組的前?n/2??n/2?個(gè)位置中，而葉子節(jié)點(diǎn)的鍵將會(huì)占據(jù)后?n/2??n/2?個(gè)位置。

2) 在數(shù)組中，對(duì)于一個(gè)位于父母位置 i 的鍵來(lái)說(shuō)，它的子女將會(huì)位于2i和2i+1. 相應(yīng)地，對(duì)于一個(gè)位于i的鍵來(lái)說(shuō)，它的父母將會(huì)位于?i/2??i/2?

對(duì)于上面提到的父母節(jié)點(diǎn)的鍵將會(huì)位于數(shù)組的前?n/2??n/2?個(gè)位置中，而葉子節(jié)點(diǎn)的鍵將會(huì)占據(jù)后?n/2??n/2?個(gè)位置。這一點(diǎn)我覺(jué)得很有意思，咱們不嚴(yán)格證明，僅簡(jiǎn)單分析一下為什么會(huì)這樣。

設(shè)一個(gè)堆共有N個(gè)元素。判斷一個(gè)索引為 i 的節(jié)點(diǎn)是不是父母節(jié)點(diǎn)，可以看它有沒(méi)有孩子。如果它有孩子，那么2i一定小于等于N，換句話(huà)說(shuō)，如果2i大于N，則可以斷定它是葉子節(jié)點(diǎn)，在它位置之后的節(jié)點(diǎn)（如果有的話(huà)）也一定是葉子節(jié)點(diǎn)，因?yàn)閺?2i > N 可以推出 2(i+1) > N，2(i+2) > N，…

所以，只要求解不等式 2i > N， 取i的最小值，就得到第一個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)的位置。

經(jīng)過(guò)演算，i 的最小值是 i=?N/2?+1i=?N/2?+1，所以，最后一個(gè)父母節(jié)點(diǎn)的位置是 ?n/2??n/2?

如何構(gòu)造一個(gè)堆

針對(duì)給定的一列鍵值，如何構(gòu)造一個(gè)堆呢？

方法一：自底向上堆構(gòu)造

假設(shè)要構(gòu)造一個(gè)大根堆，步驟如下：

在初始化一棵包含 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹(shù)時(shí)，按照給定的順序來(lái)放置鍵；

按照下面的方法，對(duì)樹(shù)進(jìn)行“堆化”

從最后一個(gè)父母節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，到根為止，該算法檢查這些節(jié)點(diǎn)的鍵是否滿(mǎn)足父母優(yōu)勢(shì)的要求。如果該節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足，就把該節(jié)點(diǎn)的鍵 K 和它子女的最大鍵進(jìn)行交換，然后再檢查在新的位置上，K 是否滿(mǎn)足父母優(yōu)勢(shì)要求。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到對(duì) K 的父母優(yōu)勢(shì)要求滿(mǎn)足為止（最終它必須滿(mǎn)足，因?yàn)閷?duì)每個(gè)葉子中的鍵來(lái)說(shuō)，這條件是自動(dòng)滿(mǎn)足的）。

對(duì)于以當(dāng)前父母節(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)，在完成它的“堆化”以后，對(duì)該節(jié)點(diǎn)的直接前趨（數(shù)組中此節(jié)點(diǎn)的前一個(gè)節(jié)點(diǎn)）進(jìn)行同樣的操作。在對(duì)樹(shù)的根完成這種操作以后，該算法就停止了。

如果該節(jié)點(diǎn)不滿(mǎn)足父母優(yōu)勢(shì)，就把該節(jié)點(diǎn)的鍵 K 和它子女的最大鍵進(jìn)行交換，然后再檢查在新的位置上，K 是否滿(mǎn)足父母優(yōu)勢(shì)要求。這個(gè)過(guò)程一直繼續(xù)到對(duì) K 的父母優(yōu)勢(shì)要求滿(mǎn)足為止——這種策略叫做下濾（percolate down）。

假設(shè)有一列鍵（共10個(gè)）：4,1,3,2,16,9,10,14,8,7

那么，按照上面給定的鍵值順序，對(duì)應(yīng)的完全二叉樹(shù)如下圖。

最后一個(gè)父母節(jié)點(diǎn)是5（=10/2），我們從5號(hào)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始對(duì)這個(gè)二叉樹(shù)進(jìn)行堆化。

看完這些圖，相信你已經(jīng)知道如何構(gòu)建大根堆了。下面就用C語(yǔ)言來(lái)實(shí)現(xiàn)。

遞歸解法

根據(jù)上文的算法描述，很容易想到用遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們先設(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)——下濾函數(shù)。

先寫(xiě)幾個(gè)宏。給定一個(gè)位置為 i 的節(jié)點(diǎn)，很容易算出它的左右孩子的位置和父母的位置。

#define LEFT(i) (2*i) // i 的左孩子 #define RIGHT(i) (2*i+1) // i 的右孩子 #define PARENT(i) (i/2) // i 的父節(jié)點(diǎn)

假定以 LEFT(t) 和 RIGHT(t) 為根的子樹(shù)都已經(jīng)是大根堆，下面的函數(shù)調(diào)整以 t 為根的子樹(shù)，使之成為大根堆。

// 下濾函數(shù)（遞歸解法） // 假定以 LEFT(t) 和 RIGHT(t) 為根的子樹(shù)都已經(jīng)是大根堆 // 調(diào)整以 t 為根的子樹(shù)，使之成為大根堆。 // 節(jié)點(diǎn)位置為 1~n，a[0]不使用 void percolate_down_recursive(int a[], int n, int t) { #ifdef PRINT_PROCEDUREprintf("check %d\n", t); #endifint left = LEFT(t);int right = RIGHT(t); int max = t; //假設(shè)當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的鍵值最大if(left <= n) // 說(shuō)明t有左孩子 {max = a[left] > a[max] ? left : max;}if(right <= n) // 說(shuō)明t有右孩子 {max = a[right] > a[max] ? right : max;}if(max != t){ swap(a + max, a + t); // 交換t和它的某個(gè)孩子，即t下移一層 #ifdef PRINT_PROCEDUREprintf("%d NOT satisfied, swap it and %d \n",t, max); #endifpercolate_down_recursive(a, n, max); // 遞歸，繼續(xù)考察t} }//交換*a和*b, 內(nèi)部函數(shù) static void swap(int* a, int* b) {int temp = *a;*a = *b;*b = temp; }

有了上面的函數(shù)，我們就可以從最后一個(gè)父母節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，到根為止，逐個(gè)進(jìn)行“下濾”。

非遞歸解法

以上代碼是用“交換法”（第26行）對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行下濾。一次交換需要3條賦值語(yǔ)句，有沒(méi)有更好的寫(xiě)法呢？有，就是“空穴法”（我自己起的名字）。我們先說(shuō)明空穴法的原理，然后附上代碼。

以上圖中“檢查1號(hào)節(jié)點(diǎn)，不滿(mǎn)足”這個(gè)地方開(kāi)始，對(duì)1號(hào)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行下濾。

// 非遞歸且不用交換 void percolate_down_no_swap(int a[], int n, int t) {int key = a[t]; // 用key記錄鍵值int max_idx;int heap_ok = 0; // 初始條件是父母優(yōu)勢(shì)不滿(mǎn)足 #ifdef PRINT_PROCEDURE printf("check %d\n", t); #endif // LEFT(t) <= n 成立則說(shuō)明 t 有孩子while(!heap_ok && (LEFT(t) <= n)){ max_idx = LEFT(t); // 假設(shè)左右孩子中，左孩子鍵值較大if(LEFT(t) < n) // 條件成立則說(shuō)明有2個(gè)孩子{if(a[LEFT(t)] < a[RIGHT(t)])max_idx = RIGHT(t); //說(shuō)明右孩子的鍵值比左孩子大}//此時(shí)max_idx指向鍵值較大的孩子if(key >= a[max_idx]){heap_ok = 1; //為 key 找到了合適的位置，跳出循環(huán)}else{ a[t] = a[max_idx]; //孩子上移一層，max_idx 被空出來(lái)，成為空穴 #ifdef PRINT_PROCEDURE printf("use %d fill %d \n", max_idx, t);printf("%d is empty\n", max_idx); #endif t = max_idx; //令 t 指向空穴 } }a[t] = key; // 把 key 填入空穴 #ifdef PRINT_PROCEDURE printf("use value %d fill %d \n", key, t);#endif return; }

如果在編譯的時(shí)候定義宏P(guān)RINT_PROCEDURE，則可以看到堆化過(guò)程和上文的六張圖相符。假設(shè)源文件名是 max_heap.c，在編譯的時(shí)候用-D宏名稱(chēng)可以定義宏。

gcc max_heap.c -DPRINT_PROCEDURE

方法二：自頂向下堆構(gòu)造

除了上面的算法，還有一種算法（效率較低）是通過(guò)把新的鍵連續(xù)插入預(yù)先構(gòu)造好的堆，來(lái)構(gòu)造一個(gè)新堆。有的人把它稱(chēng)作自頂向下堆構(gòu)造。

首先，把一個(gè)鍵值為 K 的新節(jié)點(diǎn)附加在當(dāng)前堆的最后一個(gè)葉子后面；

然后，拿 K 和它父母的鍵做比較。如果 K 小于等于它的父母，那么算法停止；否則交換這兩個(gè)鍵，并把 K 和它的新父母做比較。

重復(fù)2，一直持續(xù)到 K 不大于它的父母，或者 K 成為樹(shù)根為止。

這種策略叫做上濾（percolate up）。

依然以4,1,3,2,16,9,10,14,8,7這列鍵為例，用圖說(shuō)明上濾的過(guò)程。

細(xì)心的讀者應(yīng)該已經(jīng)看出來(lái)了：下濾法構(gòu)造的堆，其對(duì)應(yīng)的數(shù)組是

[16,14,10,8,7,9,3,2,4,1]

而上濾法構(gòu)造的堆，其數(shù)組是

[16,14,10,8,7,3,9,1,4,2]

所以得出結(jié)論：對(duì)于同一列鍵，用下濾法和上濾法構(gòu)造出來(lái)的堆，不一定完全相同。

囿于篇幅，“堆”就說(shuō)到這里，上濾法的代碼，咱們下次說(shuō)。

參考資料

https://blog.csdn.net/guoweimelon/article/details/50904346

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的堆与堆排序（一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。