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前幾節課著重介紹了機器能夠學習的條件并做了詳細的推導和解釋。機器能夠學習必須滿足兩個條件：

• 假設空間H的Size M是有限的，即當N足夠大的時候，那么對于假設空間中任意一個假設g，Eout≈EinEout≈Ein。
• 利用算法A從假設空間H中，挑選一個g，使Ein(g)≈0Ein(g)≈0，則Eout≈0Eout≈0。

這兩個條件，正好對應著test和trian兩個過程。train的目的是使損失期望Ein(g)≈0Ein(g)≈0；test的目的是使將算法用到新的樣本時的損失期望也盡可能小，即Eout≈0Eout≈0。

正因為如此，上次課引入了break point，并推導出只要break point存在，則M有上界，一定存在Eout≈EinEout≈Ein。

本次筆記主要介紹VC Dimension的概念。同時也是總結VC Dimension與Ein(g)≈0Ein(g)≈0，Eout≈0Eout≈0，Model Complexity Penalty（下面會講到）的關系。

一、Definition of VC Dimension

首先，我們知道如果一個假設空間H有break point k，那么它的成長函數是有界的，它的上界稱為Bound function。根據數學歸納法，Bound function也是有界的，且上界為Nk?1Nk?1。從下面的表格可以看出，N(k?1)N(k?1)比B(N,k)松弛很多。

則根據上一節課的推導，VC bound就可以轉換為：

這樣，不等式只與k和N相關了，一般情況下樣本N足夠大，所以我們只考慮k值。有如下結論：

• 若假設空間H有break point k，且N足夠大，則根據VC bound理論，算法有良好的泛化能力

• 在假設空間中選擇一個矩g，使Ein≈0Ein≈0，則其在全集數據中的錯誤率會較低

下面介紹一個新的名詞：VC Dimension。VC Dimension就是某假設集H能夠shatter的最多inputs的個數，即最大完全正確的分類能力。（注意，只要存在一種分布的inputs能夠正確分類也滿足）。

shatter的英文意思是“粉碎”，也就是說對于inputs的所有情況都能列舉出來。例如對N個輸入，如果能夠將2N2N種情況都列出來，則稱該N個輸入能夠被假設集H shatter。

根據之前break point的定義：假設集不能被shatter任何分布類型的inputs的最少個數。則VC Dimension等于break point的個數減一。

現在，我們回顧一下之前介紹的四種例子，它們對應的VC Dimension是多少：

用dvcdvc代替k，那么VC bound的問題也就轉換為與dvcdvc和N相關了。同時，如果一個假設集H的dvcdvc確定了，則就能滿足機器能夠學習的第一個條件Eout≈EinEout≈Ein，與算法、樣本數據分布和目標函數都沒有關系。

二、VC Dimension of Perceptrons

回顧一下我們之前介紹的2D下的PLA算法，已知Perceptrons的k=4，即dvc=3dvc=3。根據VC Bound理論，當N足夠大的時候，Eout(g)≈Ein(g)Eout(g)≈Ein(g)。如果找到一個g，使Ein(g)≈0Ein(g)≈0，那么就能證明PLA是可以學習的。

這是在2D情況下，那如果是多維的Perceptron，它對應的dvcdvc又等于多少呢？

已知在1D Perceptron，dvc=2dvc=2，在2D Perceptrons，dvc=3dvc=3，那么我們有如下假設：dvc=d+1dvc=d+1，其中d為維數。

要證明的話，只需分兩步證明：

• dvc≥d+1dvc≥d+1
• dvc≤d+1dvc≤d+1

首先證明第一個不等式：dvc≥d+1dvc≥d+1。

在d維里，我們只要找到某一類的d+1個inputs可以被shatter的話，那么必然得到dvc≥d+1dvc≥d+1。所以，我們有意構造一個d維的矩陣XX能夠被shatter就行。XX是d維的，有d+1個inputs，每個inputs加上第零個維度的常數項1，得到XX的矩陣：

矩陣中，每一行代表一個inputs，每個inputs是d+1維的，共有d+1個inputs。這里構造的XX很明顯是可逆的。shatter的本質是假設空間H對XX的所有情況的判斷都是對的，即總能找到權重W，滿足X?W=yX?W=y，W=X?1?yW=X?1?y。由于這里我們構造的矩陣XX的逆矩陣存在，那么d維的所有inputs都能被shatter，也就證明了第一個不等式。

然后證明第二個不等式：dvc≤d+1dvc≤d+1。

在d維里，如果對于任何的d+2個inputs，一定不能被shatter，則不等式成立。我們構造一個任意的矩陣XX，其包含d+2個inputs，該矩陣有d+1列，d+2行。這d+2個向量的某一列一定可以被另外d+1個向量線性表示，例如對于向量Xd+2Xd+2，可表示為：

Xd+2=a1?X1+a2?X2+?+ad+1?Xd+1Xd+2=a1?X1+a2?X2+?+ad+1?Xd+1

其中，假設a1>0a1>0，a2,?,ad+1<0a2,?,ad+1<0.

那么如果X1X1是正類，X2,?,Xd+1X2,?,Xd+1均為負類，則存在WW，得到如下表達式：
Xd+2?W=Xd+2?W=a1?X1?Wa1?X1?W+a2?X2?Wa2?X2?W+??+ad+1?Xd+1?Wad+1?Xd+1?W>0>0

因為其中藍色項大于0，代表正類；紅色項小于0，代表負類。所有對于這種情況，Xd+2Xd+2一定是正類，無法得到負類的情況。也就是說，d+2個inputs無法被shatter。證明完畢！

綜上證明可得dvc=d+1dvc=d+1。

三、Physical Intuition VC Dimension

上節公式中WW又名features，即自由度。自由度是可以任意調節的，如同上圖中的旋鈕一樣，可以調節。VC Dimension代表了假設空間的分類能力，即反映了H的自由度，產生dichotomy的數量，也就等于features的個數，但也不是絕對的。

例如，對2D Perceptrons，線性分類，dvc=3dvc=3，則W={w0,w1,w2}W={w0,w1,w2}，也就是說只要3個features就可以進行學習，自由度為3。

介紹到這，我們發現M與dvcdvc是成正比的，從而得到如下結論：

四、Interpreting VC Dimension

下面，我們將更深入地探討VC Dimension的意義。首先，把VC Bound重新寫到這里：

根據之前的泛化不等式，如果|Ein?Eout|>?|Ein?Eout|>?，即出現bad壞的情況的概率最大不超過δδ。那么反過來，對于good好的情況發生的概率最小為1?δ1?δ，則對上述不等式進行重新推導：

??表現了假設空間H的泛化能力，??越小，泛化能力越大。

至此，已經推導出泛化誤差EoutEout的邊界，因為我們更關心其上界（EoutEout可能的最大值），即：

上述不等式的右邊第二項稱為模型復雜度，其模型復雜度與樣本數量N、假設空間H(dvcdvc)、??有關。EoutEout由EinEin共同決定。下面繪出EoutEout、model complexity、EinEin隨dvcdvc變化的關系：

通過該圖可以得出如下結論：

• dvcdvc越大，EinEin越小，ΩΩ越大（復雜）。

• dvcdvc越小，EinEin越大，ΩΩ越小（簡單）。

• 隨著dvcdvc增大，EoutEout會先減小再增大。

所以，為了得到最小的EoutEout，不能一味地增大dvcdvc以減小EinEin，因為EinEin太小的時候，模型復雜度會增加，造成EoutEout變大。也就是說，選擇合適的dvcdvc，選擇的features個數要合適。

下面介紹一個概念：樣本復雜度（Sample Complexity）。如果選定dvcdvc，樣本數據D選擇多少合適呢？通過下面一個例子可以幫助我們理解：

通過計算得到N=29300，剛好滿足δ=0.1δ=0.1的條件。N大約是dvcdvc的10000倍。這個數值太大了，實際中往往不需要這么多的樣本數量，大概只需要dvcdvc的10倍就夠了。N的理論值之所以這么大是因為VC Bound 過于寬松了，我們得到的是一個比實際大得多的上界。

值得一提的是，VC Bound是比較寬松的，而如何收緊它卻不是那么容易，這也是機器學習的一大難題。但是，令人欣慰的一點是，VC Bound基本上對所有模型的寬松程度是基本一致的，所以，不同模型之間還是可以橫向比較。從而，VC Bound寬松對機器學習的可行性還是沒有太大影響。

五、總結

本節課主要介紹了VC Dimension的概念就是最大的non-break point。然后，我們得到了Perceptrons在d維度下的VC Dimension是d+1。接著，我們在物理意義上，將dvcdvc與自由度聯系起來。最終得出結論dvcdvc不能過大也不能過小。選取合適的值，才能讓EoutEout足夠小，使假設空間H具有良好的泛化能力。

注明：

文章中所有的圖片均來自臺灣大學林軒田《機器學習基石》課程

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的台湾大学林轩田机器学习基石课程学习笔记7 -- The VC Dimension的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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