【題目描述】7215:簡單的整數劃分問題 by Oler17WA
將正整數n 表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。正整數n 的這種表示稱為正整數n 的劃分。正整數n 的不同的劃分個數稱為正整數n 的劃分數。【輸入格式】 標準的輸入包含若干組測試數據。每組測試數據是一個整數N(0 < N <= 50)。【輸出格式】對于每組測試數據，輸出N的劃分數。【樣例輸入】 5【樣例輸出】7提示5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1一、 題意分析對于大小在50之內的數，找出所有的加法組合的總和。可遞歸，可動態規劃。二、 算法說明運用動態規劃的思想做。設置一個足夠大的二維數組x[n][m]，存儲數字n的各種組合劃分中最大值不超過m的組合數。有x[n][m]= x[n][m-1]+ x[n-m][m]。
x[n][m-1]，表示最大數不超過m-1的關于n的劃分。
x[n-m][m]代表x[n][m]的劃分中的去掉一個最大的數字m的劃分（若劃分中有m），如x[4][3]=x[4][2]+x[2][2]中x[4][3]有如下組合2+2；2+1+1；去掉2后即為x[2][2]的劃分。在這里若n=m，即只輸出n的情況，如5也是n=5的一種劃分。三、 數據結構long x[51][51]
用一個長整形數組來存儲好50之內的所有數字n的組合數。四、 算法分析經分析得x[i][1](i個1相加)和x[1][i](只有一個1)都為0。當x[n-m][m]中n=m時即只輸出n的情況，如5也是n=5的一種劃分，所以x[0][i]也為0。##這里是整個矩陣能建立起來的基礎，可以說是所有x[n][m]獲得值得源泉，因為都要遞歸到這一步再return 一個值。目前以我的理解，動態規劃和遞歸有著密不可分的關系，特別是建立遞歸方程和確定遞歸的終止點（在這里就是x[i][1]，x[1][i]，x[0][i]）。此思想在dp的01背包問題中，最長公共子序列中都有體現。回顧踩方格，爬樓梯中，雖然還沒有提出dp的概念，但是解題過程中卻有與dp吻合的地方。如都滿足dp三要素中的無后相性，子問題重疊，在繁雜的演算中提取規律，化繁為簡，最終將重復的計算交給計算機以達到解題的目的。之后兩重for循環i為行j為列，從x[2][2]開始遍歷。
特別的，在這個矩陣中上三角x[i][j](j>i)大小都等于x[i][i]，因為x[n][n+m]意義都等價于x[n][n]。五、 代碼與調試

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總結

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