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TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现

發(fā)布時(shí)間：2025/3/15 编程问答 21 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

寫在前面：

個(gè)人理解：針對存在多項(xiàng)指標(biāo)，多個(gè)方案的方案評價(jià)分析方法，也就是根據(jù)已存在的一份數(shù)據(jù)，判斷數(shù)據(jù)中各個(gè)方案的優(yōu)劣。中心思想是首先確定各項(xiàng)指標(biāo)的最優(yōu)理想值(正理想值)和最劣理想值(負(fù)理想解)，所謂正理想值是一設(shè)想的最好值（方案），它的的各個(gè)屬性值都達(dá)到各候選方案中最好的值，而負(fù)理想解是另一設(shè)想的最壞的值（方案），然后求出各個(gè)方案與正理想值和負(fù)理想值之間的加權(quán)歐氏距離，由此得出各方案與最優(yōu)方案的接近程度，作為評價(jià)方案的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)，最后得到各個(gè)方案的優(yōu)劣值。

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TOPSIS(逼近理想解)算法原理詳解與代碼實(shí)現(xiàn) - 子木的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/266689519

TOPSIS(逼近理想解)算法原理詳解與代碼實(shí)現(xiàn) - 子木的文章 - 知乎

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一、TOPSIS算法

1.1 TOPSIS算法的原理

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻譯為逼近理想解排序法，國內(nèi)常簡稱為優(yōu)劣解距離法TOPSIS 法是一種常用的綜合評價(jià)方法，其能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息，其結(jié)果能精確地反映各評價(jià)方案之間的差距。

為了對眾多方案給出一個(gè)排序，在給出所有方案之后，可以根據(jù)這些數(shù)據(jù)，構(gòu)造出一個(gè)所有方案組成的系統(tǒng)中的理想最優(yōu)解和最劣解。而TOPSIS的想法就是，通過一定的計(jì)算，評估方案系統(tǒng)中任何一個(gè)方案距離理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離。如果一個(gè)方案距離理想最優(yōu)解越近，距離最劣解越遠(yuǎn)，我們就有理由認(rèn)為這個(gè)方案更好。那理想最優(yōu)解和最劣解又是什么呢？很簡單，理想最優(yōu)解就是該理想最優(yōu)方案的各指標(biāo)值都取到系統(tǒng)中評價(jià)指標(biāo)的最優(yōu)值，最劣解就是該理想最劣方案的各指標(biāo)值都取到系統(tǒng)中評價(jià)指標(biāo)的最劣值。

理想最優(yōu)解中的數(shù)據(jù)都是各方案中的數(shù)據(jù)，而不要選擇方案中沒有的數(shù)據(jù)，理想最劣解同理。

如何衡量某一個(gè)方案與理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離呢？

TOPSIS基本思想是用下面這個(gè)表達(dá)式進(jìn)行衡量：

可以發(fā)現(xiàn)，如果方案取到了理想最優(yōu)解，其表達(dá)式取值為1；如果方案取到了理想最劣解，其表達(dá)式取值為0。我們便可以用這個(gè)表達(dá)式來衡量系統(tǒng)中某一個(gè)方案距離理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離，也直接用它給方案進(jìn)行打分。

當(dāng)然這個(gè)公式只是一個(gè)基本的思路，實(shí)際上，為了更準(zhǔn)確與合理，會對該公式進(jìn)行優(yōu)化。

1.2 TOPSIS算法的實(shí)現(xiàn)

在了解TOPSIS算法的基本思想后就是對相應(yīng)參數(shù)的計(jì)算了，從上面的描述可以知道，除了要對該公式進(jìn)行改進(jìn)之外，因?yàn)樯婕暗綌?shù)據(jù)之間的比較，還需要對方案數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，消除量綱以及范圍太大帶來的一系列問題。

二、數(shù)據(jù)預(yù)處理

2.1 數(shù)據(jù)正向化處理

在處理數(shù)據(jù)時(shí)，有些指標(biāo)的數(shù)據(jù)越大越好，有些則是越小越好，有些又是中間某個(gè)值或者某段區(qū)間最好。我們可以對其進(jìn)行“正向化處理”，使指標(biāo)都可以像考試分?jǐn)?shù)那樣，越大越好。

將指標(biāo)分為四類，如下表所示。

四類指標(biāo)類型

正向化處理，就是將上述的四種指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將其全部轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo)數(shù)據(jù)，這樣我們計(jì)算時(shí)問題就少一點(diǎn)，碼代碼時(shí)也更加統(tǒng)一。

2.1.1 對于極小型指標(biāo)的正向化處理

例如費(fèi)用，我們可以用

?將其轉(zhuǎn)化為極大型，如果所有元素都為正數(shù)，也可以使用

2.1.2 對于中間型指標(biāo)的正向化處理

如果其最佳數(shù)值是

??，我們可以取

??，之后按照

轉(zhuǎn)化。

PH值正向化處理

2.1.3 對于區(qū)間型指標(biāo)的正向化處理

對于區(qū)間型指標(biāo)，如果其最佳區(qū)間是[a,b]，我們?nèi)?/p>

?，之后按照

轉(zhuǎn)化，示例如下。

區(qū)間型指標(biāo)正向化處理

至此，已將所有的數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)化為極大型數(shù)據(jù)了。

2.2 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理

為了消除不同的數(shù)據(jù)指標(biāo)量綱的影響，我們還有必要對已經(jīng)正向化的矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。在概率統(tǒng)計(jì)中，標(biāo)準(zhǔn)化的方法一般是

??，不過這里我們不采用。記標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣為Z，其中

??，也就是

??。

對數(shù)據(jù)進(jìn)行了相應(yīng)的處理后，可以用向量

?來表達(dá)第i個(gè)方案。假設(shè)有n個(gè)待評價(jià)的方案，m個(gè)指標(biāo)，此時(shí)

??。由這n個(gè)向量構(gòu)成的矩陣也就是我們的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Z了。

經(jīng)過了正向化處理和標(biāo)準(zhǔn)化處理的評分矩陣Z，里面的數(shù)據(jù)全部是極大型數(shù)據(jù)。

三、TOPSIS算法實(shí)現(xiàn)

3.1 最優(yōu)解與最劣解計(jì)算

經(jīng)過了正向化處理和標(biāo)準(zhǔn)化處理的評分矩陣Z，里面的數(shù)據(jù)全部是極大型數(shù)據(jù)。我們就可以從中取出理想最優(yōu)解和最劣解。因此我們?nèi)〕雒總€(gè)指標(biāo)，即每一列中最大的數(shù)，構(gòu)成理想最優(yōu)解向量，即

同理，取每一列中最小的數(shù)計(jì)算理想最劣解向量：

?就是

??，

??就是

??。

在得到理想最優(yōu)解和理想最劣解的基礎(chǔ)上就能計(jì)算每個(gè)方案的評分了。根據(jù)上面的距離評分公式：

對其進(jìn)行變型，也就是：

變型的目的是為了使用歐幾里得距離來衡量兩個(gè)方案的距離，變形前后分母的計(jì)算結(jié)果其實(shí)是不同的(因?yàn)檫@里zi是一個(gè)向量)。這樣更能體現(xiàn)出是綜合距離。否則所有方案計(jì)算得分時(shí)分母都是相同的，相當(dāng)于只衡量了分子，也就是距離最劣解的距離。

3.2 TOPSIS評分計(jì)算

于是計(jì)算距離評分：

對于第i個(gè)方案zi，我們計(jì)算它與最優(yōu)解的距離：

與最劣解的距離：

定義第i個(gè)方案的評分為Si：

也就是前面提到的綜合距離。

?，且

??越小，也就是該方案與最優(yōu)解的距離越小時(shí)，

越大；相應(yīng)的，

?越小，也就是該方案與最劣解的距離越小時(shí)，

越小。為同時(shí)兼顧了該方案與最優(yōu)解與最劣解的距離的評分。

這個(gè)時(shí)候我們就有了每個(gè)方案的分?jǐn)?shù)了，按分?jǐn)?shù)排排序，就知道哪個(gè)方案比較好哪個(gè)方案比較差。

四、TOPSIS算法總結(jié)

4.1 TOPSIS算法實(shí)現(xiàn)步驟

1.將原始數(shù)據(jù)矩陣正向化。也就是將那些極小性指標(biāo)，中間型指標(biāo)，區(qū)間型指標(biāo)對應(yīng)的數(shù)據(jù)全部化成極大型指標(biāo)，方便統(tǒng)一計(jì)算和處理。

2.將正向化后的矩陣標(biāo)準(zhǔn)化。也就是通過標(biāo)準(zhǔn)化消除量綱的影響。

3.計(jì)算每個(gè)方案各自與最優(yōu)解和最劣解的距離：

與最優(yōu)解的距離：

與最劣解的距離：

4.根據(jù)最優(yōu)解與最劣解計(jì)算得分并排序

五、TOPSIS算法示例

5.1 TOPSIS算法示例

對一個(gè)需要根據(jù)學(xué)生智商和情商進(jìn)行排名的數(shù)據(jù)：原始數(shù)據(jù)矩陣如下

對其進(jìn)行正向化：

對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：

計(jì)算與最優(yōu)解和最劣解的距離：

最后計(jì)算得分給出排名：

這個(gè)例子告訴我們，成績很重要，但是情商更重要。小王雖然只考了60分，但也及格了，而且他從不與人爭吵，所以我們可以給他一個(gè)最好的評價(jià)。

5.2 TOPSIS算法擴(kuò)展

從上面計(jì)算各自與最優(yōu)解和最劣解的距離時(shí)，我們看到，每一項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重是一樣的。

在實(shí)際問題中，不同的指標(biāo)重要程度可能是不一樣的。例如評獎學(xué)金的時(shí)候，成績往往是最重要的，之后還有參與活動分，志愿服務(wù)分等等，他們的權(quán)重又低一點(diǎn)。因此，在實(shí)際的應(yīng)用中，我們也可以給指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán)，將權(quán)重放到計(jì)算距離的公式中。

考慮權(quán)重后，不同指標(biāo)對最后的影響不一樣，考慮權(quán)重的評價(jià)往往是實(shí)際生活中很常見的一種評價(jià)方式。

關(guān)于權(quán)重的選取也有不同的方法，比如層次分析法(主觀給出)、熵權(quán)法等等。

六、程序源碼

TOPSIS.m程序

clear all

clc

%% 導(dǎo)入數(shù)據(jù)

% （1）在工作區(qū)右鍵，點(diǎn)擊新建（Ctrl+N)，輸入變量名稱為X

% （2）雙擊進(jìn)入X，輸入或拷貝數(shù)據(jù)到X

% （3）關(guān)掉這個(gè)窗口，點(diǎn)擊X變量，右鍵另存為，保存為mat文件

% （4）注意，代碼和數(shù)據(jù)要放在同一個(gè)目錄下哦，且Matlab的當(dāng)前文件夾也要是這個(gè)目錄。

load data_water_quality.mat

%% 數(shù)據(jù)預(yù)處理_正向化

[n,m] = size(X);

disp(['共有' num2str(n) '個(gè)評價(jià)對象, ' num2str(m) '個(gè)評價(jià)指標(biāo)'])

Judge = input(['這' num2str(m) '個(gè)指標(biāo)是否需要經(jīng)過正向化處理，需要請輸入1 ，不需要輸入0： ']);

if Judge == 1

Position = input('請輸入需要正向化處理的指標(biāo)所在的列，例如[2,3,6]： '); %[2,3,4]

disp('請輸入需要處理的這些列的指標(biāo)類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區(qū)間型） ')

Type = input('例如[1,3,2]： '); %[2,1,3]

% 注意，Position和Type是兩個(gè)同維度的行向量

for i = 1 : size(Position,2)%對每一列進(jìn)行正向化處理

X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));

% 第一個(gè)參數(shù)是要正向化處理的那一列向量 X(:,Position(i))

% 第二個(gè)參數(shù)是對應(yīng)的這一列的指標(biāo)類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區(qū)間型）

% 第三個(gè)參數(shù)是告訴函數(shù)我們正在處理的是原始矩陣中的哪一列

% 返回值返回正向化之后的指標(biāo)

end

disp('正向化后的矩陣 X = ')

disp(X)

end

%% 數(shù)據(jù)預(yù)處理_標(biāo)準(zhǔn)化

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);

disp('標(biāo)準(zhǔn)化矩陣 Z = ')

disp(Z)

%% 指標(biāo)權(quán)重賦值

disp("請輸入是否需要增加權(quán)重向量，需要輸入1，不需要輸入0")

Judge = input('請輸入是否需要增加權(quán)重： ');

if Judge == 1

disp(['有多少個(gè)指標(biāo)就輸入多少個(gè)權(quán)重?cái)?shù)(權(quán)重和為1)，如[0.25,0.25,0.5]']);

weigh = input(['請輸入輸入' num2str(m) '個(gè)權(quán)重: ']);

if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m % 這里要注意浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算是不精準(zhǔn)的。

else

weigh = input('你輸入的有誤，請重新輸入權(quán)重行向量: ');

end

else

weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加權(quán)重就默認(rèn)權(quán)重都相同，即都為1/m

end

%% 計(jì)算與最大值的距離和最小值的距離，并算出得分

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 與最大值的距離向量

D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 與最小值的距離向量

S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未歸一化的得分

disp('最后的得分為：')

stand_S = S / sum(S)% 歸一化的得分

[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')%對得分進(jìn)行排序并返回原來的位置

plot(sorted_S,'r-o')

xmin=1;xmax = size(sorted_S,1);

ymin = 0;ymax = max(sorted_S)+min(sorted_S);

axis([xmin xmax ymin ymax]); % 設(shè)置坐標(biāo)軸在指定的區(qū)間

grid on

xlabel('方案');ylabel('分?jǐn)?shù)');%坐標(biāo)軸表示對bai象標(biāo)簽

title('TOPSIS算法最終評分排序')

正向化處理函數(shù)Positivization.m程序

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)

% 輸入變量有三個(gè)：

% x：需要正向化處理的指標(biāo)對應(yīng)的原始列向量

% type：指標(biāo)的類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區(qū)間型）

% i: 正在處理的是原始矩陣中的哪一列

% 輸出變量posit_x表示：正向化后的列向量

if type == 1 %極小型

disp(['第' num2str(i) '列是極小型，正在正向化'] )

posit_x = Min2Max(x); %調(diào)用Min2Max函數(shù)來正向化

disp(['第' num2str(i) '列極小型正向化處理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 2 %中間型

disp(['第' num2str(i) '列是中間型'] )

best = input('請輸入最佳的那一個(gè)值(中間的那個(gè)值)： ');

posit_x = Mid2Max(x,best);

disp(['第' num2str(i) '列中間型正向化處理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 3 %區(qū)間型

disp(['第' num2str(i) '列是區(qū)間型'] )

a = input('請輸入?yún)^(qū)間的下界： ');

b = input('請輸入?yún)^(qū)間的上界： ');

posit_x = Inter2Max(x,a,b);

disp(['第' num2str(i) '列區(qū)間型正向化處理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

else

disp('沒有這種類型的指標(biāo)，請檢查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')

end

以下面這個(gè)例子為例：

首先導(dǎo)入數(shù)據(jù)，然后運(yùn)行程序，結(jié)果如下：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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