寫在前面：

個人理解：針對存在多項指標，多個方案的方案評價分析方法，也就是根據(jù)已存在的一份數(shù)據(jù)，判斷數(shù)據(jù)中各個方案的優(yōu)劣。中心思想是首先確定各項指標的最優(yōu)理想值(正理想值)和最劣理想值(負理想解)，所謂正理想值是一設想的最好值（方案），它的的各個屬性值都達到各候選方案中最好的值，而負理想解是另一設想的最壞的值（方案），然后求出各個方案與正理想值和負理想值之間的加權歐氏距離，由此得出各方案與最優(yōu)方案的接近程度，作為評價方案的優(yōu)劣標準，最后得到各個方案的優(yōu)劣值。

目錄

一、TOPSIS算法

1.1 TOPSIS算法的原理

1.2 TOPSIS算法的實現(xiàn)

二、數(shù)據(jù)預處理

2.1 數(shù)據(jù)正向化處理

2.1.1對于極小型指標的正向化處理

2.1.2 對于中間型指標的正向化處理

2.1.3對于區(qū)間型指標的正向化處理

2.2數(shù)據(jù)標準化處理

三、TOPSIS算法實現(xiàn)

3.1最優(yōu)解與最劣解計算

3.2 TOPSIS評分計算

四、TOPSIS算法總結

4.1 TOPSIS算法實現(xiàn)步驟

五、TOPSIS算法示例與擴展

5.1 TOPSIS算法示例

5.2 TOPSIS算法擴展

六、程序源碼

?

?

由于本文發(fā)在知乎上，目前CSDN沒辦法直接導入文檔，所以本文可讀性很差。強烈建議點擊下面鏈接閱讀原文：

TOPSIS(逼近理想解)算法原理詳解與代碼實現(xiàn) - 子木的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/266689519

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一、TOPSIS算法

1.1 TOPSIS算法的原理

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻譯為逼近理想解排序法，國內常簡稱為優(yōu)劣解距離法TOPSIS 法是一種常用的綜合評價方法，其能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息，其結果能精確地反映各評價方案之間的差距。

為了對眾多方案給出一個排序，在給出所有方案之后，可以根據(jù)這些數(shù)據(jù)，構造出一個所有方案組成的系統(tǒng)中的理想最優(yōu)解和最劣解。而TOPSIS的想法就是，通過一定的計算，評估方案系統(tǒng)中任何一個方案距離理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離。如果一個方案距離理想最優(yōu)解越近，距離最劣解越遠，我們就有理由認為這個方案更好。那理想最優(yōu)解和最劣解又是什么呢？很簡單，理想最優(yōu)解就是該理想最優(yōu)方案的各指標值都取到系統(tǒng)中評價指標的最優(yōu)值，最劣解就是該理想最劣方案的各指標值都取到系統(tǒng)中評價指標的最劣值。

理想最優(yōu)解中的數(shù)據(jù)都是各方案中的數(shù)據(jù)，而不要選擇方案中沒有的數(shù)據(jù)，理想最劣解同理。

如何衡量某一個方案與理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離呢？

TOPSIS基本思想是用下面這個表達式進行衡量：

?

?

可以發(fā)現(xiàn)，如果方案取到了理想最優(yōu)解，其表達式取值為1；如果方案取到了理想最劣解，其表達式取值為0。我們便可以用這個表達式來衡量系統(tǒng)中某一個方案距離理想最優(yōu)解和最劣解的綜合距離，也直接用它給方案進行打分。

當然這個公式只是一個基本的思路，實際上，為了更準確與合理，會對該公式進行優(yōu)化。

1.2 TOPSIS算法的實現(xiàn)

在了解TOPSIS算法的基本思想后就是對相應參數(shù)的計算了，從上面的描述可以知道，除了要對該公式進行改進之外，因為涉及到數(shù)據(jù)之間的比較，還需要對方案數(shù)據(jù)進行處理，消除量綱以及范圍太大帶來的一系列問題。

二、數(shù)據(jù)預處理

2.1 數(shù)據(jù)正向化處理

在處理數(shù)據(jù)時，有些指標的數(shù)據(jù)越大越好，有些則是越小越好，有些又是中間某個值或者某段區(qū)間最好。我們可以對其進行“正向化處理”，使指標都可以像考試分數(shù)那樣，越大越好。

將指標分為四類，如下表所示。

?

四類指標類型

正向化處理，就是將上述的四種指標數(shù)據(jù)進行處理，將其全部轉化為極大型指標數(shù)據(jù)，這樣我們計算時問題就少一點，碼代碼時也更加統(tǒng)一。

2.1.1 對于極小型指標的正向化處理

例如費用，我們可以用

?

?將其轉化為極大型，如果所有元素都為正數(shù)，也可以使用

?

2.1.2 對于中間型指標的正向化處理

如果其最佳數(shù)值是

??，我們可以取

??，之后按照

?

轉化。

?

PH值正向化處理

2.1.3 對于區(qū)間型指標的正向化處理

對于區(qū)間型指標，如果其最佳區(qū)間是[a,b]，我們取

?，之后按照

?

轉化，示例如下。

?

區(qū)間型指標正向化處理

至此，已將所有的數(shù)據(jù)都轉化為極大型數(shù)據(jù)了。

2.2 數(shù)據(jù)標準化處理

為了消除不同的數(shù)據(jù)指標量綱的影響，我們還有必要對已經正向化的矩陣進行標準化。在概率統(tǒng)計中，標準化的方法一般是

??，不過這里我們不采用。記標準化后的矩陣為Z，其中

??，也就是

??。

對數(shù)據(jù)進行了相應的處理后，可以用向量

?來表達第i個方案。假設有n個待評價的方案，m個指標，此時

??。由這n個向量構成的矩陣也就是我們的標準化矩陣Z了。

?

經過了正向化處理和標準化處理的評分矩陣Z，里面的數(shù)據(jù)全部是極大型數(shù)據(jù)。

三、TOPSIS算法實現(xiàn)

3.1 最優(yōu)解與最劣解計算

經過了正向化處理和標準化處理的評分矩陣Z，里面的數(shù)據(jù)全部是極大型數(shù)據(jù)。我們就可以從中取出理想最優(yōu)解和最劣解。因此我們取出每個指標，即每一列中最大的數(shù)，構成理想最優(yōu)解向量，即

?

同理，取每一列中最小的數(shù)計算理想最劣解向量：

?

?

?就是

??，

??就是

??。

在得到理想最優(yōu)解和理想最劣解的基礎上就能計算每個方案的評分了。根據(jù)上面的距離評分公式：

?

對其進行變型，也就是：

?

變型的目的是為了使用歐幾里得距離來衡量兩個方案的距離，變形前后分母的計算結果其實是不同的(因為這里zi是一個向量)。這樣更能體現(xiàn)出是綜合距離。否則所有方案計算得分時分母都是相同的，相當于只衡量了分子，也就是距離最劣解的距離。

3.2 TOPSIS評分計算

于是計算距離評分：

對于第i個方案zi，我們計算它與最優(yōu)解的距離：

?

與最劣解的距離：

?

定義第i個方案的評分為Si：

?

也就是前面提到的綜合距離。

?

?，且

??越小，也就是該方案與最優(yōu)解的距離越小時，

?

越大；相應的，

?越小，也就是該方案與最劣解的距離越小時，

?

越小。 為同時兼顧了該方案與最優(yōu)解與最劣解的距離的評分。

這個時候我們就有了每個方案的分數(shù)了，按分數(shù)排排序，就知道哪個方案比較好哪個方案比較差。

四、TOPSIS算法總結

4.1 TOPSIS算法實現(xiàn)步驟

1.將原始數(shù)據(jù)矩陣正向化。也就是將那些極小性指標，中間型指標，區(qū)間型指標對應的數(shù)據(jù)全部化成極大型指標，方便統(tǒng)一計算和處理。

2.將正向化后的矩陣標準化。也就是通過標準化消除量綱的影響。

3.計算每個方案各自與最優(yōu)解和最劣解的距離：

與最優(yōu)解的距離：

?

與最劣解的距離：

?

4.根據(jù)最優(yōu)解與最劣解計算得分并排序

?

五、TOPSIS算法示例

5.1 TOPSIS算法示例

對一個需要根據(jù)學生智商和情商進行排名的數(shù)據(jù)：原始數(shù)據(jù)矩陣如下

?

對其進行正向化：

?

對其進行標準化：

?

計算與最優(yōu)解和最劣解的距離：

?

最后計算得分給出排名：

?

這個例子告訴我們，成績很重要，但是情商更重要。小王雖然只考了60分，但也及格了，而且他從不與人爭吵，所以我們可以給他一個最好的評價。

5.2 TOPSIS算法擴展

從上面計算各自與最優(yōu)解和最劣解的距離時，我們看到，每一項指標的權重是一樣的。

?

在實際問題中，不同的指標重要程度可能是不一樣的。例如評獎學金的時候，成績往往是最重要的，之后還有參與活動分，志愿服務分等等，他們的權重又低一點。因此，在實際的應用中，我們也可以給指標進行賦權，將權重放到計算距離的公式中。

?

考慮權重后，不同指標對最后的影響不一樣，考慮權重的評價往往是實際生活中很常見的一種評價方式。

關于權重的選取也有不同的方法，比如層次分析法(主觀給出)、熵權法等等。

六、程序源碼

TOPSIS.m程序

?

clear all

clc

%% 導入數(shù)據(jù)

% （1）在工作區(qū)右鍵，點擊新建（Ctrl+N)，輸入變量名稱為X

% （2）雙擊進入X，輸入或拷貝數(shù)據(jù)到X

% （3）關掉這個窗口，點擊X變量，右鍵另存為，保存為mat文件

% （4）注意，代碼和數(shù)據(jù)要放在同一個目錄下哦，且Matlab的當前文件夾也要是這個目錄。

load data_water_quality.mat

?

%% 數(shù)據(jù)預處理_正向化

[n,m] = size(X);

disp(['共有' num2str(n) '個評價對象, ' num2str(m) '個評價指標'])

Judge = input(['這' num2str(m) '個指標是否需要經過正向化處理，需要請輸入1 ，不需要輸入0： ']);

?

if Judge == 1

Position = input('請輸入需要正向化處理的指標所在的列，例如[2,3,6]： '); %[2,3,4]

disp('請輸入需要處理的這些列的指標類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區(qū)間型） ')

Type = input('例如[1,3,2]： '); %[2,1,3]

% 注意，Position和Type是兩個同維度的行向量

for i = 1 : size(Position,2)%對每一列進行正向化處理

X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));

% 第一個參數(shù)是要正向化處理的那一列向量 X(:,Position(i))

% 第二個參數(shù)是對應的這一列的指標類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區(qū)間型）

% 第三個參數(shù)是告訴函數(shù)我們正在處理的是原始矩陣中的哪一列

% 返回值返回正向化之后的指標

end

disp('正向化后的矩陣 X = ')

disp(X)

end

?

%% 數(shù)據(jù)預處理_標準化

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);

disp('標準化矩陣 Z = ')

disp(Z)

?

%% 指標權重賦值

disp("請輸入是否需要增加權重向量，需要輸入1，不需要輸入0")

Judge = input('請輸入是否需要增加權重： ');

if Judge == 1

disp(['有多少個指標就輸入多少個權重數(shù)(權重和為1)，如[0.25,0.25,0.5]']);

weigh = input(['請輸入輸入' num2str(m) '個權重: ']);

if abs(sum(weigh) - 1)<0.000001 && size(weigh,1) == 1 && size(weigh,2) == m % 這里要注意浮點數(shù)的運算是不精準的。

else

weigh = input('你輸入的有誤，請重新輸入權重行向量: ');

end

else

weigh = ones(1,m) ./ m ; %如果不需要加權重就默認權重都相同，即都為1/m

end

?

%% 計算與最大值的距離和最小值的距離，并算出得分

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D+ 與最大值的距離向量

D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; % D- 與最小值的距離向量

S = D_N ./ (D_P+D_N); % 未歸一化的得分

disp('最后的得分為：')

stand_S = S / sum(S)% 歸一化的得分

[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')%對得分進行排序并返回原來的位置

plot(sorted_S,'r-o')

xmin=1;xmax = size(sorted_S,1);

ymin = 0;ymax = max(sorted_S)+min(sorted_S);

axis([xmin xmax ymin ymax]); % 設置坐標軸在指定的區(qū)間

grid on

xlabel('方案');ylabel('分數(shù)');%坐標軸表示對bai象標簽

title('TOPSIS算法最終評分排序')

正向化處理函數(shù)Positivization.m程序

?

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)

% 輸入變量有三個：

% x：需要正向化處理的指標對應的原始列向量

% type： 指標的類型（1：極小型， 2：中間型， 3：區(qū)間型）

% i: 正在處理的是原始矩陣中的哪一列

% 輸出變量posit_x表示：正向化后的列向量

if type == 1 %極小型

disp(['第' num2str(i) '列是極小型，正在正向化'] )

posit_x = Min2Max(x); %調用Min2Max函數(shù)來正向化

disp(['第' num2str(i) '列極小型正向化處理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 2 %中間型

disp(['第' num2str(i) '列是中間型'] )

best = input('請輸入最佳的那一個值(中間的那個值)： ');

posit_x = Mid2Max(x,best);

disp(['第' num2str(i) '列中間型正向化處理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

elseif type == 3 %區(qū)間型

disp(['第' num2str(i) '列是區(qū)間型'] )

a = input('請輸入?yún)^(qū)間的下界： ');

b = input('請輸入?yún)^(qū)間的上界： ');

posit_x = Inter2Max(x,a,b);

disp(['第' num2str(i) '列區(qū)間型正向化處理完成'] )

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')

else

disp('沒有這種類型的指標，請檢查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')

end

end

以下面這個例子為例：

?

首先導入數(shù)據(jù)，然后運行程序，結果如下：

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的TOPSIS(逼近理想解)算法原理详解与代码实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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