Vondrak濾波原理詳解及Matlab實(shí)現(xiàn)

• 一.Vondrak基本思想：
• 二、Vondrak平滑法的原理：
• 三、Vondrak濾波平滑公式：
• 四、Vondrak濾波應(yīng)用
• 五、Matlab實(shí)現(xiàn)

一.Vondrak基本思想：

通過選擇不同的而平滑因子控制數(shù)據(jù)平滑的程度，在觀測數(shù)據(jù)的絕對擬合與絕對平滑之間選擇一條折衷的曲線，保留有用信號，濾除噪聲信號。
這種方法 對于等間距的觀測數(shù)據(jù)、不等間距的觀測數(shù)據(jù)均適用。
Vondrak濾波的本質(zhì)是通過確定合理的平滑因子

在觀測數(shù)據(jù)的絕對擬合和決定平滑之間尋求一條折衷的曲線。
它在不需知道觀測資料的變化規(guī)律及其擬合函數(shù)的情況下，就能夠?qū)τ^測資料進(jìn)行有效的平滑。
Vondrak濾波的關(guān)鍵是 選擇合理的平滑因子，目前常用的方法有：頻率響應(yīng)法、觀測誤差法、平滑誤差法以及交叉證認(rèn)法。
前三種的應(yīng)用都必須在一定的已知條件下采用，如觀測序列的頻率及先驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，而交叉證認(rèn)法的主觀隨意性和計(jì)算量很大。

二、Vondrak平滑法的原理：

修勻數(shù)學(xué)中指出一個(gè)修勻序列滿足光滑性要求，所謂光滑性要求，就是在滿足

很小的情況下，所得出的修勻值位于一條光滑的曲線上。
S為平滑度，yi‘ 為修勻值，上式中z為差分階數(shù)，n為待處理數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。
但在實(shí)際處理中，一味的追求光滑性將會使得估計(jì)值偏離原始的觀測值，使得處理的結(jié)果與真值的偏離程度增大。
在實(shí)際處理中，會預(yù)先采用一定的處理方法，去除粗大誤差，使得觀測值與真值的偏離程度很小。
考慮到整體加權(quán)及正負(fù)抵消的情況下，令

F為擬合度，yi為觀測值，yi‘ 為修勻值，上式中z為差分階數(shù)，n為觀測值的個(gè)數(shù)。
同樣的，當(dāng)當(dāng)擬合度時(shí)，說明修勾值與原觀測值完全重合，此時(shí)并沒有起到修勻效果。
Whittaker于1923年將2-1 、2-2 做了線性組合，發(fā)展為Whittaker修勻：

其中：pi為觀測值的權(quán)序列，yi 為觀測值序列，yi’ 為平滑值序列，h 是正常數(shù)。在滿足上述準(zhǔn)則下所獲得的修勻值既滿足位于一條光滑的曲線上，又與原觀測序列具有一定的擬合度。
1967年捷克天文學(xué)家J.Vondrak將Whittaker修勻中原定一的平滑度改為以平滑之的3階差分的平方和，發(fā)展為Whittaker-Vondrak平滑法，簡稱Vondrak濾波，
Vondrak平滑基本準(zhǔn)則是：

1976年對此進(jìn)行了改進(jìn)，將擬合度和平滑度分別用他們的平均值來代替：

其中，pi為觀測值的權(quán)序列，yi 為觀測值序列，yi’ 為平滑序列，λ是正常數(shù)，

在觀測數(shù)據(jù)的絕對擬合和絕對平滑之間起著平衡的作用，ε 越小，曲線的平滑程度越強(qiáng)。

三、Vondrak濾波平滑公式：

在滿足平滑準(zhǔn)則達(dá)到最小的情況下，利用拉格朗日多項(xiàng)式推到的Vondrak濾波的基本方程組為：

實(shí)際應(yīng)用中，常用2-5 改進(jìn)的Vondrak濾波。解方程組2-15也可獲得滿足準(zhǔn)則2-5的平滑結(jié)果。

特點(diǎn)：
Vondrak濾波可以在未知觀測資料的變化規(guī)律且未知其擬合函數(shù)的情況下，就能夠?qū)τ^測資料進(jìn)行有效的平滑，因此在許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。

四、Vondrak濾波應(yīng)用

對于某一確定平滑因子周期信號被分成了三段：通過帶（F=1）、過濾帶（0《 F《 1）、壓制帶（F《 0）。Vondrak濾波器是很好的低通濾波器,具體應(yīng)用案列詳見：

吳蕓蕓. Vondrak濾波準(zhǔn)則及應(yīng)用研究[D]. 中南大學(xué), 2012.

五、Matlab實(shí)現(xiàn)

function yy = vondrak(x,y,epsilon,sigma) % Vondrak濾波程序 n = length(x); B = zeros(n,1); p = ones(1,n); p = p*sigma; a = zeros(1,n+3); b = zeros(1,n+3); c = zeros(1,n+3); d = zeros(1,n+3); for i=1:n-3 a(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i)-x(i+1))*(x(i)-x(i+2))*(x(i)-x(i+3))); b(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i+1)-x(i))*(x(i+1)-x(i+2))*(x(i+1)-x(i+3))); c(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i+2)-x(i))*(x(i+2)-x(i+1))*(x(i+2)-x(i+3))); d(i+3) = 6*sqrt(x(i+2)-x(i+1))/((x(i+3)-x(i))*(x(i+3)-x(i+1))*(x(i+3)-x(i+2))); end A = zeros(n,7); for i = 1:n A(i,1) = a(i)*d(i); A(i,2) = a(i+1)*c(i+1)+b(i)*d(i); A(i,3) = a(i+2)*b(i+2)+b(i+1)*c(i+1)+c(i)*d(i); A(i,4) = epsilon*p(i)/(n-3)+a(i+3)^2+b(i+2)^2+c(i+1)^2+d(i)^2; A(i,5) = a(i+3)*b(i+3)+b(i+2)*c(i+2)+c(i+1)*d(i+1); A(i,6) = a(i+3)*c(i+3)+b(i+2)*d(i+2); A(i,7) = a(i+3)*d(i+3); B(i) = epsilon*p(i)/(n-3); end A(3,1:6) = A(3,2:7); A(3,7) = 0; A(2,1:5) = A(2,3:7); A(2,6:7) = [0 0]; A(1,1:4) = A(1,4:7); A(1,5:7) = [0 0 0]; y = y.*B; ls = 4; for k = 1:n-1 max = 0; for i = k:ls t = abs(A(i,1)); if t>max max = t; is = i; %列選主元 end end help1 = y(k); y(k) = y(is); y(is) = help1; %常數(shù)向量交換行 help2 = A(k,:); A(k,:) = A(is,:); A(is,:)=help2; %系數(shù)矩陣交換行 y(k) = y(k)/A(k,1); A(k,:) = A(k,:)/A(k,1); %系數(shù)歸一化 for i = k+1:ls t = A(i,1); y(i) = y(i)-y(k)*t; %常數(shù)向量消元 A(i,:) = A(i,:)-A(k,:)*t; %系數(shù)矩陣消元 A(i,1:6) = A(i,2:7); %系數(shù)矩陣左移一位 A(i,7) = 0; end if ls~=n ls = ls+1; end end q = A(n,1); y(n) = y(n)/q; ls = 2; for i = n-1:-1:1 y(i) = y(i)-A(i,2:ls)*y(i+1:i+ls-1); if ls~=7 ls = ls+1; end end yy = y;

參考文獻(xiàn)：
吳蕓蕓. Vondrak濾波準(zhǔn)則及應(yīng)用研究[D]. 中南大學(xué), 2012.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Vondrak滤波原理详解及Matlab实现的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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