c++矩阵转置_lt;读书笔记4gt; 稀疏矩阵基础算法
本篇為稀疏矩陣求解算法經典論著<Direct Methods for Sparse Linear System>的<讀書筆記 4>
Chapter 2 Basic algorithms
上一篇主要介紹了稀疏矩陣的數據結構，那么在接下來本章主要包括了其幾個基礎的算法。
對于矩陣-向量乘法操作
,其中 和 是稠密向量， 為稀疏矩陣。其偽代碼為
這個偽代碼是基于CSC格式的，第一層for循環實際上是以x向量展開的。以CSR格式進行計算更容易理解。
C代碼為：
int2.3 Utilities
此部分主要是一些用于內存空間處理的應用函數。不展開介紹，比較簡單。這里的函數僅僅是創建了內存空間，但是沒有存儲空間中沒有實際內容。
| void *cs_malloc (int n, size_t size) | 內存分配 |
| void *cs_calloc (int n, size_t size) | 內存分配并清零 |
| void *cs_free (void *p) | 清楚分配空間 |
| void *cs_realloc (void *p, int n, size_t size, int *ok) | 改變一塊存儲空間p的size |
| cs *cs_spalloc (int m, int n, int nzmax, int values, int triplet) | 創建m*n稀疏矩陣，用于保存nzmax個entries,參數triplet用于設定是COO還是CSC格式 |
| int cs_spfree (cs *A, int nzmax) | 釋放創建的稀疏矩陣空間 |
| int cs_sprealloc (cs *A, int nzmax) | 依據nzmax,重新對稀疏矩陣A分配空間 |
2.4 Triplet form
一般情況下，需要從文件中或許原始稀疏矩陣數據，常用的數據文件，例如mtx文件等，采用的是COO（或者在本書中稱 Triplet form）。程序需要讀入此類文件，獲取數據，然后再得到這個數據的CSC，或者CSR格式。
如下面的代碼，首先將COO格式的數據，存放再Ti，Tj，Tx中，然后再轉成CSC格式的數據，得到對應的p，以及i。如果存在具有相同行和列索引的多個entries，則對應的數值是所有這些重復entries的和。
cs| int cs_entry (cs *T, int i, int j, double x) | 將aij=x的數據存入到T中 |
| cs *cs_compress (const cs *T) | 將COO轉變為CSC格式 |
| cs *cs_done (cs *C, void *w, void *x, int ok) | 釋放w和x的內存空間 |
| double cs_cumsum (int *p, int *c, int n) | 計算累加和 |
2.5 Transpose
稀疏矩陣的轉置，與稠密矩陣不同，更像是將矩陣的從CSC格式轉變為CSR格式的轉換。
| cs *cs_transpose (const cs *A, int values) | 稀疏矩陣A的轉置 |
2.6 Summing up duplicate entries
有限元素方法生成的矩陣是元素（elements）的集合或密集的子矩陣。完備矩陣是元素(elements)的總和。如果兩個元素構成同一個條目，則應該對它們的值進行求和。
| int cs_dupl (cs *A) | 對重復elements求和 |
2.7 Removing entries from a matrix
CSparse并不要求它的稀疏矩陣不包含數值上的零項，但它的MATLAB接口要做到這一點。cs_fkeep函數使用了一個函數指針fkeep (i ,j ,aij , other)作為參數，fkeep 用于評估A中的每一個entry。如果fkeep是true，則此entry保持。
| int cs_fkeep (cs *A, int (*fkeep) (int, int, double, void *), void *other) | 移除零entry |
| static int cs_nonzero (int i, int j, double aij, void *other) | 判斷entry非零 |
| int cs_dropzeros (cs *A) | 移除零 |
2.8 Matrix multiplication
在CSparse中，采用CSC格式，矩陣乘
，其中 為 ，A為 ，B為 ，取A和B的列，每次計算出C的列。 , , 分別代表矩陣 的列向量，則有 。將A分解為k列，將 分解為k個獨立的entries。矩陣C的非零特征由以下的定理得到：
定理2.1：
的非零特征是 的非零特征的并集，其中 需要滿足 為非零。如果 表示, 的非零entries的行索引集合，則有矩陣乘法均需要計算
以及 。| int cs_scatter (const cs *A, int j, double beta, int *w, double *x, int mark, cs *C, int nz) | 對于給定的j，實現上述兩個公式 |
| cs *cs_multiply (const cs *A, const cs *B) | 計算稀疏矩陣乘法C=AB |
稀疏矩陣乘法的計算量為
，其中 為浮點運算性能。2.9 Matrix addition
矩陣加
等價于 。所以函數cs_add實際上看起來很像cs_multiply。| cs *cs_add (const cs *A, const cs *B, double alpha, double beta) | 計算C=alpha A+beta B |
2.10 Vector permutation
置換矩陣P實際上也是一個稀疏矩陣，它的每一行和列均有只有一個非零元素并且為1。所以置換矩陣P可以用一個稀疏矩陣P來表示。或者用一個長度為n的整型向量p來表示，p即稱為置換向量，其中p[k]=i，意味著
。矩陣P是正交的，所以 。同樣，置換矩陣的逆被定義為pinv[i]=k，如果 。| int cs_pvec (const int *p, const double *b, double *x, int n) | 計算x=Pb |
| int cs_ipvec (const int *p, const double *b, double *x, int n) | 計算x=PTb |
| int *cs_pinv (int const *p, int n) | 計算p的逆 |
2.11 Matrix permutation
函數cs_permute用于計算矩陣的置換，
(在MATLAB中為C=A(p,q))。其中，長度為n的向量q為列轉置向量，長度為m的pinv(不是p)為行轉置向量，其中A為m*n。如果pinv[i]=k，則A的第i行變為C的第k行；同理，A的第j列通過q進行置換。函數cs_symperm用于對稱矩陣的置換。如果一個對稱矩陣，僅保存了上三角矩陣或者下三角元素，則利用cs_cs_permute則會使得到C不是一個對稱矩陣，所以需要cs_symperm實現此功能，并且返回值C是與A同樣的三角矩陣形式。
| cs *cs_permute (const cs *A, const int *pinv, const int *q, int values) | 計算一般矩陣的置換矩陣 |
| cs *cs_symperm (const cs *A, const int *pinv, int values) | 計算對稱矩陣的置換矩陣 |
2.12 Matrix norm
矩陣范數：
- 1-范數： ，是最容易計算的，利用cs_norm函數得到。
- 2-范數：A的最大奇異值，稀疏矩陣的2-范數并不重要，此處沒有給計算函數。
- ∞-范數：最大的行的和。
| double cs_norm (const cs *A) | 計算稀疏矩陣的1-范數 |
總結
以上是生活随笔為你收集整理的c++矩阵转置_lt;读书笔记4gt; 稀疏矩阵基础算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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