一、排序的基本概念

排序：就是將記錄按關(guān)鍵字遞增(遞減)的次序排列起來(lái),形成新的有序序列,稱為排序。設(shè)n個(gè)記錄的序列為{R₁,R₂,…,R_n},其相應(yīng)關(guān)鍵字序列為{K₁,K₂,…,K_n},需確定一種排序P₁,P₂,…,P_n,使其相應(yīng)的關(guān)鍵字滿足遞增(升序),或遞減(降序)的關(guān)系:
Kp₁￡ Kp₂￡ ...￡ Kp_n
或
Kp₁3 Kp₂3 … 3 Kp_n

根據(jù)排序元素所在位置的不同,排序分: 內(nèi)排序和外排序。
內(nèi)排序：在排序過(guò)程中，所有元素調(diào)到內(nèi)存中進(jìn)行的排序，稱為內(nèi)排序。內(nèi)排序是排序的基礎(chǔ)。內(nèi)排序效率用比較次數(shù)來(lái)衡量。按所用策略不同，內(nèi)排序又可分為插入排序、選擇排序、交換排序、歸并排序及基數(shù)排序等幾大類。
外排序：在數(shù)據(jù)量大的情況下，只能分塊排序，但塊與塊間不能保證有序。外排序用讀/寫(xiě)外存的次數(shù)來(lái)衡量其效率。

排序算法的穩(wěn)定性：若待排序的序列中，存在多個(gè)具有相同關(guān)鍵字的記錄，經(jīng)過(guò)排序，這些記錄的相對(duì)次序保持不變，則稱該算法是穩(wěn)定的；若經(jīng)排序后，記錄的相對(duì)次序發(fā)生了改變，則稱該算法是不穩(wěn)定的。

排序算法的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)通常有三種：一維數(shù)組；鏈表；輔助表（如索引表）。

二、插入排序(Insertion Sort
基本思想： 將n個(gè)元素的數(shù)列分為已有序和無(wú)序兩個(gè)部分。每次處理就是將無(wú)序數(shù)列的第一個(gè)元素與有序數(shù)列的元素從后往前逐個(gè)進(jìn)行比較,找出插入位置,將該元素插入到有序數(shù)列的合適位置中。

2.1 直接插入排序(線性插入排序，穩(wěn)定)

???? 基本思想：每次將一個(gè)待排序的數(shù)據(jù)元素，插入到前面已經(jīng)排好序的數(shù)列中的適當(dāng)位置，使數(shù)列依然有序；直到待排序數(shù)據(jù)元素全部插入完為止。
??? 直接插入排序是一種最簡(jiǎn)單的排序方法。具體算法步驟：
??? Step1 從有序數(shù)列{a₁}和無(wú)序數(shù)列{a₂,a₃,…,a_n}開(kāi)始進(jìn)行排序；
??? Step2 處理第i個(gè)元素時(shí)(i=2,3,…,n),數(shù)列{a₁,a₂,…,a_i-1}是已有序的,而數(shù)列{a_i,a_i+1,…,a_n}是無(wú)序的。用a_i與a_i-1、a_i-2,…,a₁進(jìn)行比較,找出合適的位置將a_i插入。
??? Step3 重復(fù)Step2，共進(jìn)行n-1的插入處理，數(shù)列全部有序。

??? 直接插入排序的時(shí)間復(fù)雜度為O(n²)，空間復(fù)雜度為O(1)。
【示例】：
[初始關(guān)鍵字] [49] 38 65 97 76 13 27 49
J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49
J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49
J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49
J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49
J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49
J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49
J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97]

?

Procedure InsertSort(Var R : FileType);
//對(duì)R[1..N]按遞增序進(jìn)行插入排序, R[0]是監(jiān)視哨//
Begin
for I := 2 To N Do //依次插入R[2],...,R[n]//
begin
R[0] := R[I]; J := I - 1;
While R[0] < R[J] Do //查找R[I]的插入位置//
begin
R[J+1] := R[J]; //將大于R[I]的元素后移//
J := J - 1
end
R[J + 1] := R[0] ; //插入R[I] //
end
End; //InsertSort //

三、選擇排序(不穩(wěn)定)
1. 基本思想：
　　每一趟從待排序的數(shù)據(jù)元素中選出最小（或最大）的一個(gè)元素，順序放在已排好序的數(shù)列的最后，直到全部待排序的數(shù)據(jù)元素排完。
2. 排序過(guò)程：
3、時(shí)間復(fù)雜度：時(shí)間復(fù)雜度為O(n²)。
【示例】：
初始關(guān)鍵字 [49 38 65 97 76 13 27 49]
第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27 49]
第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38 49]
第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49]
第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76]
第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 97 76]
第六趟排序后 13 27 38 49 49 76 [76 97]
第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 76 [ 97]
最后排序結(jié)果 13 27 38 49 49 76 76 97

Procedure SelectSort(Var R : FileType); //對(duì)R[1..N]進(jìn)行直接選擇排序 //
Begin
for I := 1 To N - 1 Do //做N - 1趟選擇排序//
begin
K := I;
For J := I + 1 To N Do //在當(dāng)前無(wú)序區(qū)R[I..N]中選最小的元素R[K]//
begin
If R[J] < R[K] Then K := J
end;
If K <> I Then //交換R[I]和R[K] //
begin Temp := R[I]; R[I] := R[K]; R[K] := Temp; end;
end
End; //SelectSort //

四、冒泡排序(BubbleSort)（穩(wěn)定）
1. 基本思想：
　　兩兩比較待排序數(shù)據(jù)元素的大小，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)元素的次序相反時(shí)即進(jìn)行交換，直到?jīng)]有反序的數(shù)據(jù)元素為止。
2. 排序過(guò)程：
?? step1 將關(guān)鍵字按縱向排列，然后自下而上地對(duì)每?jī)蓚€(gè)相鄰的關(guān)鍵字進(jìn)行比較，若餓日為逆序(即k_j-1>k_j)，則將兩個(gè)記錄交換位置，這樣的操作反復(fù)進(jìn)行，直至全部記錄都比較、交換完為止。一趟冒泡處理，就將關(guān)鍵字最小的記錄安排在第一記錄的位置上。
?? step2 對(duì)后n-1個(gè)記錄重復(fù)同樣操作，再將次小關(guān)鍵字記錄安排在第二個(gè)記錄的位置上。
?? Step3 重復(fù)上述過(guò)程直至沒(méi)有記錄需要交換為止。

3、算法分析：最壞情況，比較(n²-n)/2次，移動(dòng)(n²-n)*3/2。算法時(shí)間復(fù)雜度O(n²)。
【示例】：
49 13 13 13 13 13 13 13
38 49 27 27 27 27 27 27
65 38 49 38 38 38 38 38
97 65 38 49 49 49 49 49
76 97 65 49 49 49 49 49
13 76 97 65 65 65 65 65
27 27 76 97 76 76 76 76
49 49 49 76 97 97 97 97

Procedure BubbleSort(Var R : FileType) //從下往上掃描的起泡排序//
Begin
For I := 1 To N-1 Do //做N-1趟排序//
begin
NoSwap := True; //置未排序的標(biāo)志//
For J := N - 1 DownTo 1 Do //從底部往上掃描//
begin
If R[J+1]< R[J] Then //交換元素//
begin
Temp := R[J+1]; R[J+1 := R[J]; R[J] := Temp;
NoSwap := False
end;
end;
If NoSwap Then Return//本趟排序中未發(fā)生交換，則終止算法//
end
End; //BubbleSort//

五、快速排序（Quick Sort）（不穩(wěn)定）
1. 基本思想：
　　在當(dāng)前無(wú)序區(qū)R[1..H]中任取一個(gè)數(shù)據(jù)元素作為比較的"基準(zhǔn)"(不妨記為X)，用此基準(zhǔn)將當(dāng)前無(wú)序區(qū)劃分為左右兩個(gè)較小的無(wú)序區(qū)：R[1..I-1]和R[I+1..H]，且左邊的無(wú)序子區(qū)中數(shù)據(jù)元素均小于等于基準(zhǔn)元素，右邊的無(wú)序子區(qū)中數(shù)據(jù)元素均大于等于基準(zhǔn)元素，而基準(zhǔn)X則位于最終排序的位置上，即R[1..I-1]≤X.Key≤R[I+1..H](1≤I≤H)，當(dāng)R[1..I-1]和R[I+1..H]均非空時(shí)，分別對(duì)它們進(jìn)行上述的劃分過(guò)程，直至所有無(wú)序子區(qū)中的數(shù)據(jù)元素均已排序?yàn)橹埂?br />2. 排序過(guò)程：

3、算法分析：最壞情況的時(shí)間復(fù)雜度為O(n²)，最好情況時(shí)間復(fù)雜度為O(nlog₂n)。
【示例】：
初始關(guān)鍵字 [49 38 65 97 76 13 27 49］
第一次交換后 ［27 38 65 97 76 13 49 49］
第二次交換后 ［27 38 49 97 76 13 65 49］
J向左掃描，位置不變，第三次交換后 ［27 38 13 97 76 49 65 49］
I向右掃描，位置不變，第四次交換后 ［27 38 13 49 76 97 65 49］
J向左掃描 ［27 38 13 49 76 97 65 49］
（一次劃分過(guò)程）

初始關(guān)鍵字 ［49 38 65 97 76 13 27 49］
一趟排序之后 ［27 38 13］ 49 ［76 97 65 49］
二趟排序之后 ［13］ 27 ［38］ 49 ［49 65］76 ［97］
三趟排序之后 13 27 38 49 49 ［65］76 97
最后的排序結(jié)果 13 27 38 49 49 65 76 97
各趟排序之后的狀態(tài)

Procedure Parttion(Var R : FileType; L, H : Integer; Var I : Integer);
//對(duì)無(wú)序區(qū)R[1,H]做劃分，I給以出本次劃分后已被定位的基準(zhǔn)元素的位置 //
Begin
I := 1; J := H; X := R[I] ;//初始化，X為基準(zhǔn)//
Repeat
While (R[J] >= X) And (I < J) Do
begin
J := J - 1 //從右向左掃描，查找第1個(gè)小于 X的元素//
If I < J Then //已找到R[J] 〈X//
begin
R[I] := R[J]; //相當(dāng)于交換R[I]和R[J]//
I := I + 1
end;
While (R[I] <= X) And (I < J) Do
I := I + 1 //從左向右掃描，查找第1個(gè)大于 X的元素///
end;
If I < J Then //已找到R[I] > X //
begin R[J] := R[I]; //相當(dāng)于交換R[I]和R[J]//
J := J - 1
end
Until I = J;
R[I] := X //基準(zhǔn)X已被最終定位//
End; //Parttion //

Procedure QuickSort(Var R :FileType; S,T: Integer); //對(duì)R[S..T]快速排序//
Begin
If S < T Then //當(dāng)R[S..T]為空或只有一個(gè)元素是無(wú)需排序//
begin
Partion(R, S, T, I); //對(duì)R[S..T]做劃分//
QuickSort(R, S, I-1);//遞歸處理左區(qū)間R[S,I-1]//
QuickSort(R, I+1,T);//遞歸處理右區(qū)間R[I+1..T] //
end;
End; //QuickSort//

五、堆排序(Heap Sort)
1. 基本思想：
堆排序是一樹(shù)形選擇排序，在排序過(guò)程中，將R[1..N]看成是一顆完全二叉樹(shù)的順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，利用完全二叉樹(shù)中雙親結(jié)點(diǎn)和孩子結(jié)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)系來(lái)選擇最小的元素。
2. 堆的定義: N個(gè)元素的序列K1,K2,K3,...,Kn.稱為堆，當(dāng)且僅當(dāng)該序列滿足特性：
Ki≤K2i Ki ≤K2i+1(1≤ I≤ [N/2])

堆實(shí)質(zhì)上是滿足如下性質(zhì)的完全二叉樹(shù)：樹(shù)中任一非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字均大于等于其孩子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字。例如序列10,15,56,25,30,70就是一個(gè)堆，它對(duì)應(yīng)的完全二叉樹(shù)如上圖所示。這種堆中根結(jié)點(diǎn)（稱為堆頂）的關(guān)鍵字最小，我們把它稱為小根堆。反之，若完全二叉樹(shù)中任一非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字均大于等于其孩子的關(guān)鍵字，則稱之為大根堆。
3. 排序過(guò)程：
堆排序正是利用小根堆（或大根堆）來(lái)選取當(dāng)前無(wú)序區(qū)中關(guān)鍵字小（或最大）的記錄實(shí)現(xiàn)排序的。我們不妨利用大根堆來(lái)排序。每一趟排序的基本操作是：將當(dāng)前無(wú)序區(qū)調(diào)整為一個(gè)大根堆，選取關(guān)鍵字最大的堆頂記錄，將它和無(wú)序區(qū)中的最后一個(gè)記錄交換。這樣，正好和直接選擇排序相反，有序區(qū)是在原記錄區(qū)的尾部形成并逐步向前擴(kuò)大到整個(gè)記錄區(qū)。
【示例】：對(duì)關(guān)鍵字序列42，13，91，23，24，16，05，88建堆

Procedure Sift(Var R :FileType; I, M : Integer);
//在數(shù)組R[I..M]中調(diào)用R[I]，使得以它為完全二叉樹(shù)構(gòu)成堆。事先已知其左、右子樹(shù)(2I+1 <=M時(shí))均是堆//
Begin
X := R[I]; J := 2*I; //若J <=M, R[J]是R[I]的左孩子//
While J <= M Do //若當(dāng)前被調(diào)整結(jié)點(diǎn)R[I]有左孩子R[J]//
begin
If (J < M) And R[J].Key < R[J+1].Key Then
J := J + 1 //令J指向關(guān)鍵字較大的右孩子//
//J指向R[I]的左、右孩子中關(guān)鍵字較大者//
If X.Key < R[J].Key Then //孩子結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字較大//
begin
R[I] := R[J]; //將R[J]換到雙親位置上//
I := J ; J := 2*I //繼續(xù)以R[J]為當(dāng)前被調(diào)整結(jié)點(diǎn)往下層調(diào)整//
end;
Else
Exit//調(diào)整完畢，退出循環(huán)//
end
R[I] := X;//將最初被調(diào)整的結(jié)點(diǎn)放入正確位置//
End;//Sift//

Procedure HeapSort(Var R : FileType); //對(duì)R[1..N]進(jìn)行堆排序//
　Begin
　　For I := N Div Downto 1 Do //建立初始堆//
　　　Sift(R, I , N)
　　For I := N Downto 2 do //進(jìn)行N-1趟排序//
　　　begin
　　　　T := R[1]; R[1] := R[I]; R[I] := T;//將當(dāng)前堆頂記錄和堆中最后一個(gè)記錄交換//
　　　　Sift(R, 1, I-1) //將R[1..I-1]重成堆//
　　　end
End; //HeapSort//

六、幾種排序算法的比較和選擇
1. 選取排序方法需要考慮的因素：
(1) 待排序的元素?cái)?shù)目n；
(2) 元素本身信息量的大小；
(3) 關(guān)鍵字的結(jié)構(gòu)及其分布情況；
(4) 語(yǔ)言工具的條件，輔助空間的大小等。
2. 小結(jié)：
(1) 若n較小(n <= 50)，則可以采用直接插入排序或直接選擇排序。由于直接插入排序所需的記錄移動(dòng)操作較直接選擇排序多，因而當(dāng)記錄本身信息量較大時(shí)，用直接選擇排序較好。
(2) 若文件的初始狀態(tài)已按關(guān)鍵字基本有序，則選用直接插入或冒泡排序?yàn)橐恕?br />(3) 若n較大，則應(yīng)采用時(shí)間復(fù)雜度為O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或歸并排序。 快速排序是目前基于比較的內(nèi)部排序法中被認(rèn)為是最好的方法。
(4) 在基于比較排序方法中，每次比較兩個(gè)關(guān)鍵字的大小之后，僅僅出現(xiàn)兩種可能的轉(zhuǎn)移，因此可以用一棵二叉樹(shù)來(lái)描述比較判定過(guò)程，由此可以證明：當(dāng)文件的n個(gè)關(guān)鍵字隨機(jī)分布時(shí)，任何借助于"比較"的排序算法，至少需要O(nlog2n)的時(shí)間。
(5) 當(dāng)記錄本身信息量較大時(shí)，為避免耗費(fèi)大量時(shí)間移動(dòng)記錄，可以用鏈表作為存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。

七、歸并排序(穩(wěn)定)

??? 歸并（Merge）排序法是將兩個(gè)（或兩個(gè)以上）有序表合并成一個(gè)新的有序表：即把待排序序列分為若干個(gè)子序列，每個(gè)子序列是有序的，然后再把有序子序列合并為整體有序序列。
??? 將已有序的子序列合并，得到完全有序的序列：即先使每個(gè)子序列有序，再使子序列段間有序。若將兩個(gè)有序表合并成一個(gè)有序表，稱為2-路歸并。

歸并排序具體步驟：
Step1 把待排序的n個(gè)記錄看作是長(zhǎng)度為1的有序序列。將相鄰子序列兩兩歸并為長(zhǎng)度為2的有序序列；
Step2 把得到的n/2個(gè)長(zhǎng)度為2的有序子序列再歸并為長(zhǎng)度為 2*2 的有序序列；
Step3 按Step2的方式，重復(fù)對(duì)相鄰有序子序列進(jìn)行歸并操作，直到成為一個(gè)有序序列為止。

八、希爾排序(縮小增量排序，不穩(wěn)定)

??? 希爾排序是一種快速排序法，出自D.L.Shell?；舅枷胧?#xff1a;
??? 仍采用插入法，排序過(guò)程通過(guò)調(diào)換并移動(dòng)數(shù)據(jù)項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。先取一個(gè)小于n的整數(shù)d₁并作為第一個(gè)增量，將文件的全部記錄分成d₁個(gè)組，所有距離為d1倍數(shù)的記錄放在同一個(gè)組中，在各組內(nèi)進(jìn)行直接插入排序；然后取第二個(gè)增量d₂<d₁，重復(fù)上述的分組和排序，直至所取的增量d_t=1(d_t<d_t-1<...<d₂<d₁)為止，此時(shí)，所有的記錄放在同一組中進(jìn)行直接插入排序。增量一般d按給定公式減少： d_i+1 =（d_i + 1）/2 ，直到d等于1為止。

例，有關(guān)鍵字序列{5，4，3，6，7，1，8，9}

算法實(shí)現(xiàn)：

????????? j:=10;

?????????? i:=1;

????????? while j>1 do

??????????? begin

????????????? j:=j div 2;

????????????? repeat

??????????????? alldone:=true;

??????????????? for index:=1 to 10-j do??

?????????????????? begin

???????????????????? i:=index+j;

???????????????????? if a[index]<a[i] then

?????????????????????? begin

??????????????????????? temp:=a[index];

??????????????????????? a[index]:=a[i];

??????????????????????? a[i]:=temp;

??????????????????????? alldone:=false;

?????????????????????? end;???

?????????????????? end;

????????????? until alldone

??????????? end;??