不變量理論是數(shù)學(xué)家在研究過(guò)程中很常用的一個(gè)分析手段。在實(shí)際問(wèn)題中確定和尋找不變量以及可能的使用方法可以被看做為一門(mén)藝術(shù)，下面我們就從幾個(gè)小小的趣味問(wèn)題入手，帶大家看看不變量的巨大作用。

數(shù)學(xué)史的淵源很深厚。追溯到4000多年前，我們?cè)诠虐捅葌悢?shù)學(xué)家的著作中就已經(jīng)可以看出代數(shù)的痕跡了。根據(jù)相關(guān)歷史，我們可以確認(rèn)，以那時(shí)的知識(shí)甚至可以求解經(jīng)典的二次方程。

巴比倫泥板顯示了2的平方根的近似值，來(lái)源?Wikimedia?

從那時(shí)起，數(shù)學(xué)就一直蓬勃發(fā)展，數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造出了許多有用的數(shù)學(xué)工具。這里數(shù)學(xué)家們所謂的“數(shù)學(xué)工具”是指用來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯的方法或者技術(shù)。之后，數(shù)學(xué)家們將這些數(shù)學(xué)邏輯合并為獨(dú)立的引理，之后又將引理轉(zhuǎn)化為定理。

也許，我們并不能列舉出數(shù)學(xué)中所有的邏輯和方法，但一些比較流行的方法還是可以舉出的，比如數(shù)學(xué)歸納法和反證法，大學(xué)一般都會(huì)普及這兩種方法。在這篇文章中，將會(huì)介紹另一種方法，這種方法很少被明顯地提及，但是卻足夠解決實(shí)際問(wèn)題。

引入不變量

假設(shè)有一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象x和一組變換T (變換代表對(duì) x 進(jìn)行某些操作)，我們可以取集合T中的任何元素(即一個(gè)變換操作)并將其應(yīng)用于x，來(lái)改變x的狀態(tài)。這樣，我們就可以形成x的不同態(tài)的鏈。

態(tài)的鏈

在這些概念的基礎(chǔ)上，我們的主角，函數(shù)I登場(chǎng)了。函數(shù)I可以代表x的任意狀態(tài)，比如說(shuō)：它可以輸出任意自然數(shù)或者有理數(shù)集。對(duì)于不同的x，檢查I輸出結(jié)果是否相等是很重要的一件事。

現(xiàn)在，如果能證明將變換T作用到x上，函數(shù)I不改變它的值，則可以用這個(gè)事實(shí)來(lái)證明邏輯語(yǔ)句，并將I稱(chēng)為由變換集T產(chǎn)生的對(duì)象x的不變量。

對(duì)于任何狀態(tài)鏈x，不變函數(shù)的值不變

讓我們考慮下面的示例，看看如何利用不變量來(lái)證明邏輯語(yǔ)句。

假想的群島

我們將從一個(gè)簡(jiǎn)單的示例開(kāi)始，然后嘗試緩慢地增加復(fù)雜性。

假設(shè)我們是生活在群島中某一片島嶼上的人。我們需要知道，如果沒(méi)有任何一個(gè)橋梁跟我們的出發(fā)點(diǎn)連接，我們就無(wú)法到達(dá)特定的島。

我們的虛擬小世界 圖源 Wikimedia

我們能在自己所在的島嶼自由移動(dòng)，但是橋梁只連接有限的島嶼，因此從一個(gè)島嶼不能到達(dá)所有的島嶼。

我們先將所有的島標(biāo)號(hào)并用數(shù)字連接。

數(shù)字代表島嶼跟橋梁 (i為島嶼，b為橋梁)

在上面的基礎(chǔ)上，引入不變函數(shù)I，將我們所在的島嶼編號(hào)輸入這個(gè)函數(shù)中，輸出的結(jié)果就是我們可能會(huì)到達(dá)的島嶼編號(hào)。

將島嶼和橋梁映射成數(shù)字后的世界示意圖

通過(guò)以上的示意圖，將I可能的輸出列舉出來(lái)為：

不變函數(shù)I的值

很明顯，在每個(gè)通過(guò)橋梁連接的“世界”中，我們?nèi)我庋貥蛄阂苿?dòng)并不會(huì)改變函數(shù)。那么，一個(gè)人是否能夠從島嶼a到島嶼b？這個(gè)可以根據(jù)具體的函數(shù)I來(lái)決定。

根據(jù)函數(shù)I回答島嶼是否可達(dá)的問(wèn)題

這就是關(guān)于不變量的一個(gè)例子，我們用它展示不變量的主要思想，接下來(lái)我們可以討論一些更有意思的例子。

象棋問(wèn)題

假設(shè)我們有一個(gè)棋盤(pán)，這個(gè)棋盤(pán)有些不同——有人從同一對(duì)角線上的角落里取下兩個(gè)格點(diǎn)。

奇特的棋盤(pán)

假想出這個(gè)棋盤(pán)的人同時(shí)給出了一個(gè)挑戰(zhàn)，并承諾挑戰(zhàn)成功的人能夠得到1萬(wàn)塊：用2×1的多米諾骨牌填滿這個(gè)棋盤(pán)。

乍一看，這個(gè)問(wèn)題似乎很簡(jiǎn)單。從64個(gè)單元中去掉了偶數(shù)個(gè)格點(diǎn)，再拼放雙數(shù)單元的多米諾骨牌并不難。搞明白這個(gè)之后，我們可能會(huì)毫不猶豫地接受這個(gè)挑戰(zhàn)，畢竟，誰(shuí)不想要1萬(wàn)塊呢？

隨機(jī)填充的結(jié)果

筆者根據(jù)這個(gè)規(guī)則制作了這個(gè)游戲的網(wǎng)頁(yè)版本，這樣我們就可以找到并證明這種可能性的存在。在網(wǎng)頁(yè)版本游戲中請(qǐng)用鼠標(biāo)左鍵放置多米諾骨牌，用鼠標(biāo)右鍵改變多米諾骨牌的方向。

或者簡(jiǎn)單一點(diǎn)，建議各位拿出紙筆，嘗試挑戰(zhàn)一下自己。

在一段時(shí)間的嘗試之后，我們可能會(huì)懷疑這種做法的可行性。下面讓我們利用不變量的想法來(lái)剖析這個(gè)問(wèn)題。

首先，定義不變函數(shù)I為棋盤(pán)中未填充部分黑色和白色單元格數(shù)量的差異，這個(gè)函數(shù)的初始值為0，當(dāng)從棋盤(pán)上移除兩個(gè)同樣顏色的格點(diǎn)后，值變?yōu)?。

其次，我們發(fā)現(xiàn)，任意放置一個(gè)多米諾骨牌總會(huì)覆蓋一個(gè)黑色和一個(gè)白色的單元格，所以無(wú)論放置多少個(gè)多米諾骨牌都不會(huì)改變之前定義的I值。

在放置多米諾骨牌時(shí)不變函數(shù)不會(huì)改變其值

現(xiàn)在可以看出其中的矛盾之處了么？全覆蓋棋盤(pán)的I值應(yīng)該為0，但是現(xiàn)在無(wú)論放置多少多米諾骨牌，I值都為2，不可能達(dá)到0.

哲學(xué)家馬克斯·布萊克在1946年出版的《批判思維》一書(shū)中提出了這個(gè)問(wèn)題。

15格點(diǎn)的拼圖

19世紀(jì)末，山姆·洛伊德提出了另一個(gè)非常著名的謎題。作為一位美國(guó)象棋選手，他向世界發(fā)起挑戰(zhàn)，要人們來(lái)解決他的15個(gè)格點(diǎn)的拼圖問(wèn)題(15 puzzle)。

15格點(diǎn)的拼圖游戲

15個(gè)格點(diǎn)的拼圖游戲本身是個(gè)智力趣味題，需要在棋盤(pán)上移動(dòng)棋子使之按照1到15的順序回歸初始位置，這個(gè)的在線玩法也很容易找到。這個(gè)謎題在山姆·洛伊德提出的十年前就被提出了，但是，當(dāng)洛伊德提出要提供1000美元作為獎(jiǎng)金給解出15拼圖之后，這個(gè)游戲才迅速在世界上傳播開(kāi)來(lái)。

山姆·洛伊德最后兩塊交換后的拼圖，圖源Wikimedia

山姆·洛伊德的版本有所不同，他從初始版本的拼圖開(kāi)始，把14和15互換了位置。最終目的是一樣的：通過(guò)某種變換將其順序恢復(fù)到初始情況。

如何利用不變量來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？我們來(lái)看一下。

我們先將拼圖排成一條直線。

將拼圖變成一條直線

接下來(lái)我們將每個(gè)單元格編號(hào)：

將原始拼圖中格點(diǎn)的移動(dòng)映射到這條線上點(diǎn)的重排。

將拼圖中的移動(dòng)映射到線上

對(duì)于這條線，我們可以計(jì)算逆序數(shù)，逆序數(shù)指的是：在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱(chēng)為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)。(比如說(shuō)：1 2 3 的逆序數(shù)為0，1 3 2的逆序數(shù)為1，3 1 2的逆序數(shù)為 2。)

對(duì)于從1到15的每個(gè)值v，我們應(yīng)該計(jì)算從具有該值v的單元的位置i開(kāi)始向右開(kāi)始有多少個(gè)值小于v。

一個(gè)格點(diǎn)的逆序數(shù)，Ind 代表如果括號(hào)里面是真的話輸出為1，反之則為0

計(jì)算所有格點(diǎn)的逆序數(shù)之和，得逆序數(shù)的和為：

逆序數(shù)之和

現(xiàn)在，我們來(lái)變個(gè)魔術(shù)。對(duì)于將全部的逆序數(shù)和空格點(diǎn)所在的行數(shù)相加所得的和總是偶數(shù)，這樣可以定義不變函數(shù)I。如果總和為偶數(shù)，I則為0，和為奇數(shù)，I為1。

在移動(dòng)中，不變量保持不變

在這篇文章中可以找到不變量不變的嚴(yán)格解，其利用了置換的理論來(lái)證明。

經(jīng)過(guò)以上分析，可以看出山姆·洛伊德的15拼圖中的不合理之處：如果交換相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)而不改變空格點(diǎn)初始位置，逆序數(shù)將會(huì)增加1，因此I總會(huì)是奇數(shù)。這件事告訴我們，利用一般的方法是沒(méi)有辦法將拼圖恢復(fù)到原來(lái)的位置的。

(當(dāng)然，還有非常規(guī)的方法，具體可參見(jiàn)這里)

我們能更進(jìn)一步么？

不變量的應(yīng)用不僅僅局限于拼圖中。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中可以找到這種方法的很多應(yīng)用：復(fù)分析、微分方程和其他理論。在實(shí)際問(wèn)題中確定和尋找不變量以及可能的使用方法可以被看做為一門(mén)藝術(shù)，也許，這也是數(shù)學(xué)家們愛(ài)上這門(mén)學(xué)科的原因吧。

最后，希望這個(gè)故事可以讓更多人對(duì)數(shù)學(xué)更好奇一些，更深入一些。

作者：Bogdan Melnik

翻譯：Nuor

審校：Dannis

原文鏈接：

https://medium.com/cantors-paradise/the-power-of-invariants-3d0b0628aaf3

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的如果去掉数学前后的空格_数学家们是怎么玩趣味拼图游戏的？的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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