什么是范數？

我們知道距離的定義是一個寬泛的概念，只要滿足非負、自反、三角不等式就可以稱之為距離。范數是一種強化了的距離概念，它在定義上比距離多了一條數乘的運算法則。有時候為了便于理解，我們可以把范數當作距離來理解。

在數學上，范數包括向量范數和矩陣范數，向量范數表征向量空間中向量的大小，矩陣范數表征矩陣引起變化的大小。一種非嚴密的解釋就是，對應向量范數，向量空間中的向量都是有大小的，這個大小如何度量，就是用范數來度量的，不同的范數都可以來度量這個大小，就好比米和尺都可以來度量遠近一樣；對于矩陣范數，學過線性代數，我們知道，通過運算AX=B，可以將向量X變化為B，矩陣范數就是來度量這個變化大小的。

這里簡單地介紹以下幾種向量范數的定義和含義?
1、 L-P范數?
與閔可夫斯基距離的定義一樣，L-P范數不是一個范數，而是一組范數，其定義如下：?

Lp=∑1nxpi????√p，x=(x1,x2,?,xn)?

根據P 的變化，范數也有著不同的變化，一個經典的有關P范數的變化圖如下：?

上圖表示了p從無窮到0變化時，三維空間中到原點的距離（范數）為1的點構成的圖形的變化情況。以常見的L-2范數（p=2）為例，此時的范數也即歐氏距離，空間中到原點的歐氏距離為1的點構成了一個球面。

實際上，在0≤p<1時，Lp并不滿足三角不等式的性質，也就不是嚴格意義下的范數。以p=0.5，二維坐標(1,4)、(4,1)、(1,9)為例，(1+4√)???????√0.5+(4√+1)???????√0.5<(1+9√)???????√0.5。因此這里的L-P范數只是一個概念上的寬泛說法。

2、L0范數?
當P=0時，也就是L0范數，由上面可知，L0范數并不是一個真正的范數，它主要被用來度量向量中非零元素的個數。用上面的L-P定義可以得到的L-0的定義為：?

||x||=∑1nx0i????√0，x=(x1,x2,?,xn)?

這里就有點問題了，我們知道非零元素的零次方為1，但零的零次方，非零數開零次方都是什么鬼，很不好說明L0的意義，所以在通常情況下，大家都用的是：?

||x||0=#(i|xi≠0)?

表示向量x中非零元素的個數。

對于L0范數，其優化問題為：?

min||x||0?
s.t. Ax=b?

在實際應用中，由于L0范數本身不容易有一個好的數學表示形式，給出上面問題的形式化表示是一個很難的問題，故被人認為是一個NP難問題。所以在實際情況中，L0的最優問題會被放寬到L1或L2下的最優化。

3、L1范數?
L1范數是我們經常見到的一種范數，它的定義如下：?

||x||1=∑i|xi|?

表示向量x中非零元素的絕對值之和。

L1范數有很多的名字，例如我們熟悉的曼哈頓距離、最小絕對誤差等。使用L1范數可以度量兩個向量間的差異，如絕對誤差和（Sum of Absolute Difference）：?

SAD(x1,x2)=∑i|x1i?x2i|?

對于L1范數，它的優化問題如下：?

min||x||1?
s.t.Ax=b?

由于L1范數的天然性質，對L1優化的解是一個稀疏解，因此L1范數也被叫做稀疏規則算子。通過L1可以實現特征的稀疏，去掉一些沒有信息的特征，例如在對用戶的電影愛好做分類的時候，用戶有100個特征，可能只有十幾個特征是對分類有用的，大部分特征如身高體重等可能都是無用的，利用L1范數就可以過濾掉。

4、L2范數?
L2范數是我們最常見最常用的范數了，我們用的最多的度量距離歐氏距離就是一種L2范數，它的定義如下：?

||x||2=∑ix2i?????√?

表示向量元素的平方和再開平方。?
像L1范數一樣，L2也可以度量兩個向量間的差異，如平方差和（Sum of Squared Difference）:?

SSD(x1,x2)=∑i(x1i?x2i)2?

對于L2范數，它的優化問題如下：?

min||x||2?
s.t.Ax=b?

L2范數通常會被用來做優化目標函數的正則化項，防止模型為了迎合訓練集而過于復雜造成過擬合的情況，從而提高模型的泛化能力。

5、L-∞范數?
當P=∞時，也就是L-∞范數，它主要被用來度量向量元素的最大值。用上面的L-P定義可以得到的L∞的定義為：?

||x||∞=∑1nx∞i?????√∞，x=(x1,x2,?,xn)?

與L0一樣，在通常情況下，大家都用的是：?

||x||∞=max(|xi|)?

來表示L∞

總結

以上是生活随笔為你收集整理的几种简单范数介绍的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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