判断一个点是否在指定三角形内（1）
判斷一個點是否在在三角形內，最常用的兩種方法：面積法、向量同向法。算法雖然很簡單，但要做到高效卻不容易，要考慮到二維、三維的區別，還要考慮到坐標是用浮點數還是用整數來表示。
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在二維平面上，問題相對簡單，一般只需6次乘法計算。但在三維平面時問題要復雜很多，在網上看到的算法，一般都需要30次乘法計算（如果已知點P在平面ABC上，則需21次）。實際上，在三維坐標系下，可以做到增加1次比較，將乘法計算降到13次（如果點P在平面ABC上，則最多只要8次乘法計算）。
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最常用的兩種方法：面積法和向量同向法本質上是等價的。
向量同向法：若點P在三角形內，則三個向量：ab × ap、ap × ac、pb × pc平行同向（它們也與向量ab × ac平行同向），由于這三個向量均有可能為0，直接判斷它們平行同向相當麻煩，但考慮到ab × ac不可能為0，直接判斷“向量：ab × ap、ap × ac、pb × pc均與ab × ac平行同向”反而更簡單。
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面積法：當點p在三角形abc內時，4個三角形的面積滿足： abc?= abp + apc + pbc
對面積的計算，可以通過向量的向量積計算得到： 面積 abc?= |ab × ac| / 2
表面上，要計算4個三角形的面積，但根據下面的公式：
???????????ap × ap = 0,?pb × pc = (ab - ap) × (ac - ap) = ab × ac - ab × ap - ap × ac
可以少算一次矢量積。
公式： |ab × ac| = |ab × ap| + |ap × ac| + |(ab × ac - ab × ap - ap × ac)|
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對任意向量a、b、c：?? |a + b + c| = |a| + |b| + |c|?<==>?向量a、b、c 平行同向
???因而，面積法和向量同向法本質上是等價的。
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下面先討論二維坐標系（每個點X，都看作是原點O到該點X的二維向量OX）。
先定義一個二維向量模板：
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template<typename T> class Vec2 {
?T x, y;
public:
?typedef T value_type;
?Vec2(T xx = 0, T yy = 0) : x(xx), y(yy) {};
?T cross(const Vec2& v) const { return x * v.y - y * v.x;}?// 矢量積
?Vec2 operator-(const Vec2& v) const { return Vec2(x - v.x, y - v.y); }
};
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如果坐標采用浮點數，考慮到浮點數取絕對值方便（有專門的浮點指令），但彼此間比較大小存在誤差，采用面積法比較方便：
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typedef Vec2<double> Vd2;
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bool is_in_triangle(const Vd2& a, const Vd2& b, const Vd2& c, const Vd2& p)
{
?Vd2 ab(b -a), ac(c - a), ap(p - a);
?
?//用矢量積計算面積，下面4個值的絕對值，是對應的三角形的面積的兩倍，
?double abc = ab.cross(ac);
?double abp = ab.cross(ap);
?double apc = ap.cross(ac);
?double pbc = abc - abp - apc;?? //等于pb.cross(pc)
?//面積法：4個三角形的面積差 等于 0
?double delta = fabs(abc) - fabs(abp) - fabs(apc) - fabs(pbc);
?return fabs(delta) < DBL_EPSILON;????????
}
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如果坐標采用整數表示，代碼相對麻煩點：
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typedef Vec2<int> Vi2;
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bool is_in_triangle(const Vi2& a, const Vi2& b, const Vi2& c, const Vi2& p)
{
?Vi2 ab(b -a), ac(c - a), ap(p - a);
?
?//用矢量積計算面積，下面4個值的絕對值，是對應的三角形的面積的兩倍，
?int abc = ab.cross(ac);
?int abp = ab.cross(ap);
?int apc = ap.cross(ac);
?int pbc = abc - abp - apc;?? //等于pb.cross(pc)
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?//方法1： 面積法：4個三角形的面積差 等于 0
?return abs(abc) == abs(abp) + abs(apc) + abs(pbc)
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?//方法2： 矢量同向法： abp apc pbc 均與 abc 同向：
?if (abc < 0) { abp = -abp; apc = -apc; pbc = -pbc; }
?return (abp >= 0) & (apc >= 0) & (pbc >= 0);
}
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方法1：要計算4次絕對值，看似需要4次條件跳轉，但主流的編譯器，都能采用位運算直接計算絕對值（注意：GCC需要加額外的參數），不需要任何條件跳轉。
方法2：比方法1指令少，但多1次條件跳轉。
哪種方法效率較高，與編譯器生成的具體代碼有關。
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上面代碼中，可采用的兩種優化方法：
① 對整數x取絕對值，可以利用位運算：
??? 設?y = 0 （當x >= 0）
???? ????= -1 （當x < 0）
?（編譯器可以利用cdq或sar等指令直接由x計算出y值）
?則?abs(x) ?= ?(x xor y) – y
????? 或：?? =?(x + y) xor y
????? 或：?? =?x – (2 * x & y)
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?② 對整數a、b、c，?a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 等價于
(a >= 0) & (b >= 0) & (c >= 0) 等價于：
(a | b | c) >= 0
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?為避免編譯器沒有進行相關優化，直接手動優化，可得：
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inline int chg_sign(int x, int sign) //sign只能取0或-1，函數分別返回x、-x
{
?return (x + sign) ^ sign;
?//return (x ^ sign) - sign;
}
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bool is_in_triangle(const Vi2& a, const Vi2& b, const Vi2& c, const Vi2& p)
{
?Vi2 ab(b -a), ac(c - a), ap(p - a);
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?//用矢量積計算面積，下面4個值的絕對值，是對應的三角形的面積的兩倍，
?int abc = ab.cross(ac);
?int abp = ab.cross(ap);
?int apc = ap.cross(ac);
?int pbc = abc - abp - apc;?? //等于pb.cross(pc)
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?//方法3： 矢量同向法（優化版）
?const int sign = (abc >= 0) - 1;
?//const int sign = abc >> (sizeof(abc) * CHAR_BIT - 1);
?return (chg_sign(abp, sign) | chg_sign(apc, sign) | chg_sign(pbc, sign)) >= 0;
}
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轉載于:https://www.cnblogs.com/flyinghearts/archive/2011/07/07/2100549.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的判断一个点是否在指定三角形内（1）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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