【題目鏈接】

ybt 1319：【例6.1】排隊接水
洛谷 P1223 排隊接水

【題目考點】

1. 貪心

2. 貪心選擇性質(zhì)的證明

要想證明貪心選擇可以得到最優(yōu)解，只需要證明最優(yōu)解包含每一次的貪心選擇。
使用數(shù)學(xué)歸納法：

證明最優(yōu)解包含第一次的貪心選擇

假設(shè)存在最優(yōu)解包含前k次的貪心選擇，證明該最優(yōu)解包含第k+1次的貪心選擇

【解題思路】

1. 證明貪心選擇性質(zhì)

貪心選擇：每次選擇接水時間最短的人去接水
貪心選擇性質(zhì)的證明：
設(shè)n個人的編號為1,2,3,…,n

證明：存在最優(yōu)解，第一個接水的人是通過貪心選擇得到的。
接水時長最短的人編號為$g$，其接水時間為$T_g$

使用反證法：假設(shè)對于所有最優(yōu)解，第一個接水的人都不可以是貪心選擇得到的人g。
則對于某種最優(yōu)解，其接水順序為$d_1,d_2,...,d_n$，假設(shè)g是第m個接水的人，即$d_m=g(m>1)$，記第1個接水的人的編號為a，即$d_1=a$
由于g的所有人中打水時間最短的人，那么一定有$T_a>T_g$
如果交換$a$與$g$，考慮總接水時間的變化：

• 從$d_2～d_{m?1}$一共$m?2$個人，每人等待的時間減少了$T_a$增加了$T_g$，總減少時間為$(m?2)(T_a?T_g)$
• g等待的時間從$T_a+{\sum }_{i=2}^{m?1}{T}_{di}$變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$0$，等待時間減少$T_a+{\sum }_{i=2}^{m?1}{T}_{di}$
• a的等待時間從$0$變?yōu)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$T_g+{\sum }_{i=2}^{m?1}{T}_{di}$，等待時間減少$?(T_g+{\sum }_{i=2}^{m?1}{T}_{di})$
• 總減少的等待時間為上面三者的加和，結(jié)果為$(m?1)(T_a?T_g)$。由于$m>1$且$T_a>T_b$，那么$(m?1)(T_a?T_g)>0$

因此，如果交換a與g，總接水時間會減少。這與當(dāng)前解是可以使平均接水時間最小的最優(yōu)解相矛盾，因而原命題得證。

證明：存在最優(yōu)解，假設(shè)前k個人接水的人都是通過貪心選擇得到的，第k+1個接水的人也通過貪心選擇得到，即選擇剩下的接水時長最短的人。

證明方法與上面第1點的證明方法類似，把證明中的“第一個接水的人”改為“第k+1個接水的人”即可，不再贅述。

以上證明了該問題具有貪心選擇性質(zhì)，即每次選擇接水時間最短的人去接水，可以使n個人的平均等待時間最小。

2. 具體做法

結(jié)構(gòu)體中保存人的編號和打水時間，按打水時間升序?qū)Y(jié)構(gòu)體對象進行排序。計算所有人的等待時間加和，最后除以總?cè)藬?shù)。

3. 排序方法

該題說當(dāng)時間重復(fù)時，按照輸入順序輸出。雖然它說“用sort是可以的”，但嚴(yán)格來講，這里按照輸入順序?qū)⑵浼尤霐?shù)組中，而后按照打水時間進行排序。如要讓相同打水時間的元素保持輸入時的先后順序，則理論上必須選用穩(wěn)定的排序算法。所以這里我們使用stable_sort進行排序。

【題解代碼】

解法1：貪心，使用stable_sort進行排序

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 struct Time {double t;int i;//t:時間 i：人的編號 }; Time a[N]; bool cmp(const Time &a, const Time &b) {return a.t < b.t; } int main() {int n;double sumTime = 0, waitTime = 0;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i].t;a[i].i = i;}stable_sort(a+1, a+1+n, cmp);for(int i = 1; i <= n; ++i){sumTime += waitTime;//waitTime:當(dāng)前這個人已經(jīng)等的時間 waitTime += a[i].t;cout << a[i].i << ' ';}cout << endl << fixed << setprecision(2) << sumTime / n; return 0; }

解法2：貪心 手寫歸并排序

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 struct Time {double t;int i;//t:時間 i：第幾個 }; Time a[N], t[N]; void mergeSort(int l, int r)//歸并排序 {if(l >= r)return;int mid = (l+r)/2;mergeSort(l, mid);mergeSort(mid+1, r);int i = l, j = mid+1, ti = l;while(i <= mid && j <= r){if(a[i].t < a[j].t)t[ti++] = a[i++];elset[ti++] = a[j++];}while(i <= mid)t[ti++] = a[i++];while(j <= r)t[ti++] = a[j++];for(int k = l; k <= r; ++k)a[k] = t[k]; } int main() {int n;double sumTime = 0, waitTime = 0;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i].t;a[i].i = i;}mergeSort(1, n);for(int i = 1; i <= n; ++i){sumTime += waitTime;//waitTime:當(dāng)前這個人已經(jīng)等的時間 waitTime += a[i].t;cout << a[i].i << ' ';}cout << endl << fixed << setprecision(2) << sumTime / n; return 0; }

總結(jié)

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