【題目鏈接】

ybt 1939：【07NOIP普及組】紀念品分組
洛谷 P1094 [NOIP2007 普及組] 紀念品分組

【題目考點】

1. 貪心

【解題思路】

貪心選擇：選擇價格最小的和最大的紀念品分成一組，若價格最小的和最大的紀念品無法
分成一組，那么價格最大的紀念品單獨一組。

將問題抽象為：有n個數字，要湊成加和小于等于w的組，一組可以有2個數或1個數，最少可以湊多少組。

1. 貪心選擇性質的證明：

貪心選擇：
如果最大值加最小值大于w，那么最大值單獨一組。
如果最大值加最小值小于等于w，最大最小值湊成一組。

證明：存在最優解包含第一次貪心選擇

如果第一次選擇的組只有最大值，由于最大值無法和其他數字湊成一組，最大值單獨一組是唯一的選擇。
如果第一次的貪心選擇是最大最小值構成的一組。設最大值為$l$，最小值為$g$，那么一定有：$l+g\le w$
假設對于所有最優解，都不包含第一次的貪心選擇，也就是說$l$和$g$不會分為一組。
$l$可以有以下幾種情況

$l$單獨一組：無論$g$與另一個數字一組，還是$g$單獨一組，都可以讓$g$更改為與$l$一組。

$l$與另一個數字$x$一組，那么有$l+x\le w$。
假設此時$g$單獨一組，那么可以讓$g$與$x$交換，得到$l$與$g$一組。
假設此時$g$與另一個數字$h$一組，那么有$h+g\le w$
由于$l$是當時的最大值，那么一定有$h\le l$，所以有$h+x\le l+x\le w$，$h$與$x$一組加和并不會超過$w$。 將$g$與$x$交換，$l$與$g$一組，$h$與$x$一組，是可行的。
無論什么情況，都可以通過交換使得$l$與$g$一組，這樣做分組數量不會增加，該方案仍然是最優解，最優解中包含了貪心選擇，與假設相悖，原命題得證。

證明：進行k次貪心選擇后，存在最優解包含第k+1次的貪心選擇。

證明方法與證明第1點相似，不再贅述。

2.具體做法：

對所有紀念品按升序排序，設l，r兩個指針指向當前看到的價格最小和最大的紀念品。

• 如果第l和第r個紀念品的價格加和大于w，那么第l紀念品單獨一組，l加1。
• 如果第l和第r個紀念品的價格加和小于等于w，那么第l和第r紀念品分為一組，l和r都加1。

【題解代碼】

解法1：貪心

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 30005 int main() {int p[N], w, n, ct = 0;//ct:組數cin >> w >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> p[i];sort(p+1, p+1+n);int l = 1, r = n;while(l <= r){if(l != r && p[l] + p[r] <= w){l++;r--;ct++;//l, r湊一組}else{r--;ct++;//r自己湊一組 }}cout << ct;return 0; }

總結

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