證明：存在最優解包含第一次的貪心選擇，也就是說最大值$g$是某個數字序列的第一個數字。

假設所有的最優解都中$g$都不是第一個數字，
某最優解中，存在子序列$a_1,a_2,...,g,...,a_m$，由于該子序列為不升子序列，那么$a_1\le a_2\le ...\le g$，而$g$是所有數字中的最大值，因而有$g\ge a_1$，所以$a_1=g$，該序列的第一個數字就是$g$，與假設相悖，原命題得證。

證明：假設前k次都進行貪心選擇，存在最優解包含第k+1次的貪心選擇$g$。
1） 如果$g$是某子序列的第一個數

假設所有的最優解都不包含第一個數是$g$的子序列，任選一個最優解，存在在第k次選擇后選擇到的數字構成的子序列$a_1,a_2,...,g,...,a_m$，由于該子序列為不升子序列，那么$a_1\ge a_2\ge ...\ge g$，而$g$是第k次選擇后選擇的數字中的最大值，因而有$g\ge a_1$，所以$a_1=g$，該序列的第一個數字就是$g$，與假設相悖，原命題得證。

2）如果$g$不是某子序列的第一個數
也就是說，存在子序列$a_x,a_{x+1},...,a_k$，$a_k$是第k次的貪心選擇，前k次的貪心選擇已經固定。下一次貪心選擇是$g$，應該與$a_k$在同一序列且在$a_k$的后面。

假設所有最優解中不存在$a_k$在子序列中的下一個數字是$g$的情況。
1.如果$a_k$與$g$仍然在同一子序列，那么有：$a_x,...,a_k,a_{k+1},...,g,...,a_m$
已知g是第k次貪心選擇后選擇的數字中的最大數字，那么有$g\ge a_{k+1}$，因為這是不升序列，那么有$a_{k+1}\ge g$，所以$a_{k+1}=g$，$a_k$的下一個數字是$g$，與假設相悖。
2.如果$a_k$與$g$不在同一子序列中，
$g$不可能接在由前k次貪心選擇構成的老序列的后面。如果能接在老序列的后面，之前做貪心選擇時就會選到$g$。
因而$g$所在的序列一定是由第k次貪心選擇之后選擇到的數字組成的，可能為：$a_y,a_{y+1},...,a_{g?1},g,a_{g+1},...,a_{ge}$。這是不升序列，所以$a_y\ge g$
由于$g$是第k次貪心選擇后剩余數字中的最大數字，所以$a_y\le g$，所以有$a_y=g$。
因此g一定是某個序列中的第一個數字，該序列為：$g,a_{g?1},g,a_{g+1},...,a_{ge}$
第k次貪心選擇$a_k$存在的序列為$a_x,a_{x+1},...,a_k,a_{k+1},...,a_m$(也可能不存在$a_{k+1},...,a_m$)，
由于$g\le a_k$，序列$a_x,a_{x+1},...,a_k,g,a_{g+1},...,a_{ge}$一定也是不升序列。
如果$a_{k+1},...,a_m$不存在，則將$g$所在的序列接在$a_k$的后面，構成序列$a_x,a_{x+1},...,a_k,g,a_{g+1},...,a_{ge}$，總序列數量減少，仍然是最優解。
如果存在$a_{k+1},...,a_m$，那么將序列$g,a_{g+1},...,a_{ge}$與$a_{k+1},...,a_m$交換。得到序列$a_x,a_{x+1},...,a_k,g,a_{g+1},...,a_{ge}$與$a_{k+1},...,a_m$，總序列數量不變，仍是最優解。
無論何總情況，總能構造出滿足$a_k$在子序列中下一個數字是$g$的最優解。與假設相悖，假設不成立，原命題得證。