1224：最大子矩陣

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【題目描述】

已知矩陣的大小定義為矩陣中所有元素的和。給定一個矩陣，你的任務是找到最大的非空(大小至少是1×1)子矩陣。

【輸入】

輸入是一個N×N的矩陣。輸入的第一行給出N(0

【輸出】

輸出最大子矩陣的大小。

【輸入樣例】

40 -2 -7 09 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2

【輸出樣例】

15

【分析】

? ? ? ? 這道題的解法有前綴法和動態(tài)規(guī)劃法，貪心算法解法暫時還沒有想到，下面來講解一下前綴法。

? ? ? ? 前綴和是一個數(shù)組的某項下標之前(包括此項元素)的所有數(shù)組元素的和。設a為原數(shù)組，b為前綴和數(shù)組。

? ? ? ? 一維數(shù)組前綴和定義為：，二維數(shù)組前綴和定義為：，以樣例為例，原矩陣a為：

0 -2?-7?0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

則，前綴和矩陣b為：

0 -2?-9 -9
9 9 -4 -2
5 6 -11 -8
4 13 -4 -3

? ? ? ? 遞推公式為：b[x][y]=b[x-1][y]+b[x][y-1]-b[x-1][y-1]+a[i][j]。這個遞推公式也不難理解，就是容斥原理。比如，上面b數(shù)組的第4行第2列數(shù)據(jù)13，套用上述公式，其值就是：13 = 6?+ 4?- 5?+ 8。

? ? ? ? 回到本題，假設求下列原矩陣紅框部分子矩陣的和，肉眼可見，下圖子矩陣和 = -7。

? ? ? ? 用前綴和矩陣求解方式為：-11?- （-9）- 5 + （-4）?= -7。

? ? ? ? 這里給出O(n^4)的代碼，O(n^3)的解法參見后續(xù)的1282題目。

? ? ? ? 四重循環(huán)，設子矩陣左上角坐標為(k,l)，右下角(i,j)。則分別枚舉 i，j，k，l 即可，枚舉范圍 i∈[1,n]，j∈[1,n]，k∈[1,i ]，l∈[1,j ]。

【參考代碼】

#include <stdio.h> #define N 110 int a[N][N]; int sums[N][N]; int main() {int i,j,k,l,n,t,max;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++) //前綴和 {for(j=1;j<=n;j++){scanf("%d",&a[i][j]);sums[i][j]=sums[i-1][j]+sums[i][j-1]-sums[i-1][j-1]+a[i][j];}}max=sums[1][1];for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){for(k=1;k<=i;k++) //枚舉每個子矩陣，左上角(k,1)，右下角(i,j)，子矩陣和 {for(l=1;l<=j;l++){t=sums[i][j]-sums[i][l-1]-sums[k-1][j]+sums[k-1][l-1];if(t>max)max=t;}}}}printf("%d\n",max);return 0; }

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1224

總結(jié)

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