【題目鏈接】

ybt 1085：球彈跳高度的計算
OpenJudge NOI 1.5 20:球彈跳高度的計算

【題目考點】

1. 循環

【解題思路】

1. 使用循環描述球的彈跳過程

2. 數學計算

分析各次落地前彈跳的距離
設球的初始高度是$h$

• 第1次下落$h$，第1次落地，第1次反彈$\frac{h}{2}$
• 第2次下落$\frac{h}{2}$，第2次落地，第2次反彈$\frac{h}{4}$
• 第3次下落$\frac{h}{4}$，第3次落地，第3次反彈$\frac{h}{8}$
  …
• 第i次下落$\frac{h}{2^{i?1}}$，第i次落地，第i次反彈$\frac{h}{2^i}$
  第10次落地之前，共經歷了10次下落，9次反彈，將下落和反彈的距離加和，設總距離為s：
  $\begin{array}{rl}s& =h+\frac{h}{2}+\frac{h}{2}+\frac{h}{4}+\frac{h}{4}+...+\frac{h}{2^9}+\frac{h}{2^9}\\ & =h+2(\frac{h}{2}+\frac{h}{4}+...+\frac{h}{2^9})\\ & =h+h+\frac{h}{2}+\frac{h}{4}+...+\frac{h}{2^8}\end{array}$
• 根據等比序列加和公式:
  $S_n=a_1\frac{1?q^n}{1?q}$
  可以得到
  $\begin{array}{rl}s& =h(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^8})\\ & =h(1+\frac{1?(\frac{1}{2}{)}^9}{1?\frac{1}{2}})\\ & =h(3?\frac{1}{2^8})\end{array}$
• 根據規律可知，第10次反彈的距離為：$\frac{h}{2^{10}}$

【題解代碼】

解法1：使用循環描述球的運行過程

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double h;//彈跳高度cin>>h;double sum = h;//sum：總距離，初始值設為h，即第一次下落的距離為hfor(int i = 2; i <= 10; ++i)//i表示第幾次落地{h /= 2;//落地后彈跳高度變為原來的一半。h在運算后表示第i-1次落地后彈起的高度，也就是第i次下落的高度。sum += 2 * h;//球彈起距離h，下落距離h，經過2h距離后再次落地。運行這句后，此時sum表示第i次落地時小球經過的距離}//此時sum為第10次落地時經過的距離，h為第10次下落的高度，第10次彈起的高度應該為h/2cout<<sum<<endl<<h/2<<endl;return 0; }

解法2：根據數學推導輸出結果

在上述【解題思路】中得到結論：
球彈跳的總距離：$h(3?\frac{1}{2^8})$
第10次彈起的距離：$\frac{h}{2^{10}}$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double h;cin>>h; cout<<h * (3 - 1 / pow(2, 8))<<endl<<h / pow(2, 10)<<endl;return 0; }

總結

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