【基本思想】

Prim 算法基本思想是藍白點思想，用白點代表已進入最小生成樹的點，藍點代表未進入最小生成樹的點。

每次循環都將一個藍點 u 變為白點，并且此藍點 u 與白點相連的最小邊權 min[u] 還是當前所有藍點中最小的。這相當于每次循環讓一個新的點加入生成樹，讓一條最小邊加入生成樹，n-1 次循環就能生成一棵含有 n 個點的樹，最后得到的一定是最小生成樹。

其時間復雜度為：O（N*N），N 代表點數。

【算法分析】

以下圖為例，藍點和虛線代表未進入最小生成樹的點、邊，白點和實現代表已進入最小生成樹是點、邊。

初始時，所有點都是藍點，min[1]=0，min[2、3、4、5]=INF，權值和 MST=0。

第一次循環找到 min[1]=0 最小的藍點 1。將 1 變為白點，接著枚舉與 1 相連的所有藍點 2、3、4，修改它們與白點相連的最小邊權。故有：min[2]=w[1][2]=2，min[3]=w[1][3]=4，min[4]=w[1][4]=7，MST=0。

第二次循環是找到 min[2] 最小的藍點 2。將?2 變為白點，接著枚舉與 2 相連的所有藍點 3、5，修改它們與白點相連的最小邊權。故有：min[3]=w[2][3]=1，min[5]=w[2][5]=2，MST=2。

第三次循環是找到 min[3] 最小的藍點 3。將 3 變為藍點，接著枚舉與 3 相鄰的所有藍點 4、5，修改它們與白點相連的最小邊權。故有：min[4]=w[3][4]=1，由于 min[5]=2<w[3][5]=6，所以不修改 min[5] 的值，MST=3。

最后兩輪循環將點 4、5 以及邊 w[2][5]、w[3][4] 添加進最小生成樹。

最后權值之和 MST=6。

【算法描述】

以 1 為起點生成最小生成樹，vis[v] 代表 v 點是否加入最小生成樹中，min[v] 代表藍點 v 與白點相連的最小邊權，MST 代表最小生成樹邊權之和。

初始化：

vis[1...n]=false，MST=0

min[v]=INF（v≠1），min[1]=0

主體

void Prim() {for(int i=1;i<=n;i++){int u=0;for(int j=1;j<=n;j++)//枚舉所有點if( vis[j]==false && min[j]<min[u])//尋找與白點相連的權值最小的藍點uu=j;vis[u]=true;//藍點u加入生成樹，標記為白點for(int j=1;j<=n;j++)//修改所有與u相連的藍點if( vis[j]==false && g[u][j]<min[j] )min[j]=g[u][j];}//權值和的計算int MST=0;for(int i=1;i<=n;i++)MST+=min[i]; }

【模版】

int n,m;//n個點m條邊 int G[N][N]; int dis[N]; bool vis[N]; int MST; void Prim(){for(int i=1;i<=n;i++){int k;int minn=INF;for(int j=1;j<=n;j++){//枚舉所有點if(!vis[j]&&dis[j]<minn){//尋找與白點相連的權值最小的藍點uminn=dis[j];k=j;}}vis[k]=true;//藍點u加入生成樹，標記為白點for(int j=1;j<=n;j++)//修改所有與u相連的藍點if(!vis[j]&&dis[j]>G[k][j])dis[j]=G[k][j];}MST=0;for(int i=1;i<=n;i++)//權值和的計算MST+=dis[i]; }int main(){cin>>n>>m;memset(vis,false,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>G[i][j];for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=G[1][i];Prim();cout<<MST<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 生成树 —— 最小生成树 —— Prim的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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