【概述】

帶花樹算法用于解決一般圖的最大匹配問題。

對于一個圖 G(V,E)，他的匹配 M 是二元組 (u,v) 組成的集合，其中 u,v∈V,(u,b)∈E，且 M 中不存在重復的點，當 |M| 最大的時候，稱 M 為圖 G(V,E) 的最大匹配。

當圖 G(V,E) 是一個二分圖時，由于其若含有環，則一定是偶環（一個點數為 2k 的環），其最大匹配可以使用匈牙利算法或網絡流算法來求解。

當圖 G(V,E) 是一個一般圖時，由于一般圖會含有奇環（一個點數為 2k+1 的環），而經過一個奇環會得到兩條含有同一個點的匹配邊，因此當圖 G(V,E) 是一個一般圖時，無法直接進行增廣，需要用改進算法來求解最大匹配，即帶花樹算法。

【帶花樹算法】

帶花樹算法仍是分 n 個階段尋找增廣路，由于問題出在奇環上，那么首先分析一下奇環的性質。

奇環中有 2k+1 個點，所以最多有 k 組匹配，也就是說有一個點沒有匹配，即這個點在環內兩邊的連邊都不是匹配邊，也只有這個點可以向環外連邊。

根據這個性質，可以將奇環縮成一個點（這個點稱為花），由于增廣路經過奇環，那么奇環內的增廣路可以還原出來，因此縮完點后的圖如果可以找到一條增廣路，那么原圖中也可以找到一條增廣路。

根據上述思想，整個求解過程可以分成 n 個階段，每個階段從沒有匹配的 S?點開始 BFS?尋找增廣路。

搜索的開始，將 S 點加入隊列中，標記為 A 類點，如果從 x 點出發，搜索到一個未標記點，那么有兩種情況：

1）如果這個未標記點 x 有匹配：將這個點設為?B 類點，它的匹配點設為 A 類點，加入隊列繼續增廣。

2）如果這個未標記點 x 沒有匹配：由于是從一個未匹配點開始進行搜索的，所以這說明找到了一條增廣路，沿著過來的邊找回去，展開帶花樹，在搜索的過程中，如果遇到了環，又有兩種情況：

? ? ①修改搜索的過程中，如果遇到偶環：那么由于其不影響求解，因此不用管它
? ? ②修改搜索的過程中，如果遇到奇環：那么找到當前點?x 和找到的點 y，求出他們最近公共花祖先，然后用并查集縮掉環。

在縮環的時候，維護一個 pre 數組，表示回跳的時走到這里該往哪一個方向走回去。回跳的時候，每次找到 pre，然后修改這條邊，接著跳到 pre 原來的 match 處。

如果倒著進入一個花的時候，上方的邊為非匹配邊，那么我們會往下走，這個時候 pre 就應該往下設，中間相遇的位置 pre 互相連接，即：pre[x]=y,pre[y]=x

時間復雜度：由于算法分為 n 個階段，每個階段最多把整個圖遍歷一次，每個點會最多被縮 n 次花，所以總復雜度為 O(n3)

【模版】

struct Edge {int to,next; } edge[N*N*2]; int head[N],tot; int n;//n個點 int father[N],pre[N];//father記錄一個點屬于哪個一個點為根的花 int Q[N*N*2],first,tail;//bfs隊列 int match[N];//匹配 bool odd[N],vis[N];//odd記錄一個點為奇點/偶點，1為奇，0為偶 int timeBlock;//LCA時間戳 int top[N],rinedge[N];void addEdge(int x,int y) {//添邊edge[tot].to=y;edge[tot].next=head[x];head[x]=tot++; } int Find(int x){//并查集尋找根節點if(father[x]!=x)return father[x]=Find(father[x]);return x; } int lca(int x, int y){//求解最近公共祖先timeBlock++;while(x){rinedge[x]=timeBlock;x=Find(top[x]);}x=y;while(rinedge[x]!=timeBlock)x=Find(top[x]);return x; } void blossom(int x, int y, int k) {//將奇環縮成一個點并將原來是奇點的點變為偶點并加入隊列while(Find(x)!=Find(k)){pre[x]=y;y=match[x];odd[y]=false;Q[tail++]=y;father[Find(x)]=k;father[Find(y)]=k;x=pre[y];} } bool bfs(int s) {memset(top,0,sizeof(top));memset(pre,0,sizeof(pre));memset(odd,false,sizeof(odd));memset(vis,false,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++)father[i]=i;vis[s]=true;first=tail=0;Q[tail++]=s;while(first!=tail){int now=Q[first++];for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].next){int to=edge[i].to;if(!vis[to]){top[to]=now;pre[to]=now;odd[to]=true;vis[to]=true;if(!match[to]){int j=to;while(j){int x=pre[j];int y=match[x];match[j]=x;match[x]=j;j=y;}return true;}vis[match[to]]=true;top[match[to]]=to;Q[tail++]=match[to];}else if(Find(now)!=Find(to) && odd[to]==false) {int k=lca(now,to);blossom(now,to,k);blossom(to,now,k);}}}return false; }int main() {memset(head,-1,sizeof(head));memset(match,0,sizeof(match));tot=0;int m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addEdge(x,y);addEdge(y,x);}int res=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(!match[i])res+=bfs(i);printf("%d\n",res);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",match[i]);printf("\n");return 0; }

【例題】

• 一般圖最大匹配（UOJ-79）：點擊這里
• 挑戰NPC（洛谷-P4258）：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 带花树算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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