【事件與頻率】

1.基本概念

1）隨機試驗：可在相同條件下重復進行，每次試驗的結果可以不止一個且能事先明確所有結果，進行一次試驗前并不能確定哪一個結果出現的試驗

2）樣本空間：記作 S，某個隨機試驗所有可能的結果的集合，其元素即為試驗的每個結果（樣本點）

3）基本事件：由一個樣本點組成的單個元素的集合

2.事件

1）和事件：記作??或 A+B，當且僅當事件 A 和事件 B 至少一個發生時，事件??發生

2）積事件：記作??或 AB，當且僅當事件 A 和事件 B 同時發生時，事件??發生

3）互斥事件：記作?，事件 A 和事件 B 不能同時發生

4）對立事件：?且?，事件 A 和事件 B 必有一個且僅有一個發生

3.頻率與概率

1）頻率：相同條件下進行 n 次試驗，這 n 次試驗中，事件 A 發生了 N?次，?即為事件 A 發生的頻率

2）概率：在大量重復進行同一試驗時，試驗 A 發生的頻率總是在某種意義下接近某個常數，并在他附近擺動，該常數即為事件 A 的概率 P(A)

3）概率的性質：

• 非負性：對于任意一個事件 A，0<=P(A)<=1
• 規范性：對于必然事件 A，P(A)=1；對于不可能事件 A，P(A)=0
• 容斥性：對于任意兩個事件 A、B，
• 互斥事件可加性：對于互斥的 n 個事件，
• 獨立事件可乘性：對于對立的 n 個事件：
• 重復 n 次的伯努利試驗：一次試驗中某個事件發生的概率是 p，那么重復 n 次獨立試驗中這個事件恰好發生 k 次的概率為?

【古典概率】

古典概率指的是：隨機事件中各種可能發生的結果、出現的次數均由演繹、外推法得知，無需經過任何統計實驗即可計算各種結果發生的概率。

其有以下幾個特點：

• 試驗的樣本空間有限：
• 試驗中每個結果出現的可能性相同
• 試驗中所能發生的事件互不相容

在計算古典概率時，如果在全部可能出現的基本事件范圍內構成事件 A 的基本事件有 a 個，不構成事件 A 的事件有 b 個，則出現事件 A 的概率為：

【條件概率】

1）條件概率公式

假設有兩個獨立的事件 A、B，在事件 B?發生的前提下，事件 A 發生的概率為 P(A|B)；兩個事件 A、B 同時發生的概率為 P(AB)，那么有：P(A|B)=P(AB)/P(B)

2）貝葉斯公式

對于兩個獨立的事件 A、B 來說，兩個事件 A、B 同時發生的概率為 P(AB)=P(A)P(B)

那么，有：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

3）全概率公式

當樣本空間 S 分成若干不相交的部分 B1,B2,...,Bn，有：P(A)=P(A|B1)*P(B1)+P(A|B2)*P(B2)+...+P(A|Bn)*P(Bn)

【例題】

• Birthday Paradox（LightOJ-1104）：點擊這里
• Island of Survival（LightOJ-1265）：點擊這里
• Coin（2017 ACM-ICPC 亞洲區(西安賽區)網絡賽 B）(n 重伯努利實驗)：點擊這里
• Weather Patterns（2017 ACM-ICPC 亞洲區(南寧賽區)網絡賽 A）(馬爾科夫鏈+閱讀理解)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论 —— 概率的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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