【概述】

在 DAG 的覆蓋與獨立集問題中，常見的問題分為三類：

• 最小路徑點覆蓋
• 最小路徑可重復點覆蓋
• 最大獨立集數

這三類問題都可以利用二分圖的匈牙利算法來解決。

【最小路徑覆蓋】

最小路徑覆蓋：給定一張有向無環圖，要求用盡量少的不相交的簡單路徑，覆蓋有向無環圖的所有頂點（每個頂點恰好被覆蓋一次）

根據 Koning 定理的推廣：DAG 最小路徑覆蓋 = DAG 頂點數 - 新二分圖的最大匹配數

而對于新二分圖，是根據原來的 DAG 圖 G=(V,E),n=|V| 拆點得來的：

• 將 G 中的每個點 x 拆成編號為 x 與 x+n 的兩個點
• 1~n 作為二分圖的左部點，n+1~2n 作為二分圖的右部點
• 對于原圖的每條有向邊 (x,y)，在二分圖的左部點 x 與右部點 y+n 之間連邊
• 最終得到的二分圖稱為 G 的拆點二分圖?Gz

簡單來說，就是對給出的 n 個點 m 條邊的 DAG 圖構建成一個 n 個點的鄰接矩陣，這個鄰接矩陣，就是新的二分圖

int n,m; bool vis[N]; int link[N]; bool G[N][N]; bool dfs(int x){for(int y=1;y<=m;y++){if(G[x][y]&&!vis[y]){vis[y]=true;if(link[y]==-1 || dfs(link[y])){link[y]=x;return true;}}}return false; } int hungarian(){int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis,false,sizeof(vis));if(dfs(i))ans++;}return ans; } int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)){memset(link,-1,sizeof(link));memset(G,true,sizeof(G));while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=false;}int mate=hungarian();//最大匹配數int res=n-mate;//最小路徑點覆蓋printf("%d\n",res);}return 0; }

【最小路徑可重復點覆蓋/最大獨立集】

最大獨立集數：選取最多的點集，使點集中任意兩點均不相連

最小路徑可重復點覆蓋：給定一張有向無環圖，要求用盡量少的可相交的簡單路徑，覆蓋有向無環圖的所有頂點（一個頂點可被覆蓋多次）

在最小路徑可重復點覆蓋問題中，若兩條路徑：... -> u -> p -> v -> ... 與?... -> x?-> p -> y?-> ... 在點 p 相交，則在原圖中添加一條邊 (x,y)，讓第二條路徑直接走 x->y，就可以避免重復覆蓋點 p

進一步，如果將原圖中所有間接連通的點對 x、y 直接連上邊 (x,y)，那么最小路徑可重復點覆蓋，一定都能轉換成最小路徑覆蓋

因此，對于一個有向無環圖 G 的最小路徑可重復點覆蓋，等價于對 DAG 求傳遞閉包后得到的新圖 G'，再對 G' 上求最小路徑點覆蓋

而求 DAG 的最大獨立集，與求最小路徑可重復點覆蓋思路相同。

?int n,m; bool vis[N]; int link[N]; bool G[N][N]; bool dfs(int x){for(int y=1;y<=n;y++){if(G[x][y]&&!vis[y]){vis[y]=true;if(link[y]==-1 || dfs(link[y])){link[y]=x;return true;}}}return false; } int hungarian(){int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){memset(vis,false,sizeof(vis));if(dfs(i))ans++;}return ans; } void floyd(){//傳遞閉包for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]|=G[i][k]&G[k][j]; } int main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){memset(link,-1,sizeof(link));memset(G,false,sizeof(G));scanf("%d%d",&n,&m);while(m--){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=true;}floyd();//計算傳遞閉包int mate=hungarian();//最大匹配數int res=n-mate;//最大獨立集、最小路徑可重復點覆蓋printf("%d\n",res);}return 0; }

【例題】

• Dolls（HDU-4160）(最小路徑覆蓋)：點擊這里
• Robots（POJ-1548）(最小路徑覆蓋)：點擊這里
• Air Raid（POJ-1422）(最小路徑覆蓋)：點擊這里
• Taxi Cab Scheme（POJ-2060）(最小路徑覆蓋+曼哈頓距離)：點擊這里
• Repairing Company（POJ-3216）(最小路徑覆蓋+Floyd求最短路)：點擊這里
• Harry Potter and the Present II（HDU-3991）(最小路徑覆蓋+Floyd求最短路)：點擊這里
• The Maximum Unreachable Node Set（UVALive-8456）(最大獨立集)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— DAG 的覆盖与独立集的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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