【概述】

線性遞推關(guān)系是組合計(jì)數(shù)中一種常見的遞推關(guān)系，關(guān)系式為：

最著名的線性遞推關(guān)系就是 Fibonacci 數(shù)列，有：f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)

對(duì)于線性遞推關(guān)系，直接利用遞推式，需要在 O(nd) 的時(shí)間內(nèi)才能求出 F(n)，時(shí)間無法承受，可以考慮借助矩陣來進(jìn)行優(yōu)化。

現(xiàn)在已經(jīng)有了：，那么再加上??這種顯然成立的式子，于是有：

根據(jù)矩陣乘法的定義，即有：，于是可以利用矩陣快速冪來解決，時(shí)間復(fù)雜度僅為

例如，對(duì)于遞推公式：

可以構(gòu)造矩陣：

化簡后：

由于 f(0)=0，f(1)=1，那么有：

故答案為：

因此矩陣快速冪求出 A 后即得答案

關(guān)于矩陣快速冪：點(diǎn)擊這里

【例題】

Reading comprehension（HDU-4990）：點(diǎn)擊這里

233 Matrix（HDU-5051）：點(diǎn)擊這里

Jzzhu and Sequences（CF-450B）：點(diǎn)擊這里

Bear in the Field（CF-385E）：點(diǎn)擊這里

M斐波那契數(shù)列（HDU-4549）(斐波那契矩陣構(gòu)造+費(fèi)馬小定理)：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数 —— 线性递推关系的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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