1.行列式

排成 n 階方陣形式的 n^2 個數所確定的一個數稱為?n 階方陣 A 的行列式，記為：det(A)?或 |A|

一個 2x2 的矩陣的行列式可表示為：

2.余子式與代數余子式

將 n 階行列式中元素??的第 i 行和第 j 列劃去后，留下的 n-1 階行列式稱為??的余子式?，記作：

將??的余子式與?-1 的?i+j 的冪的乘積稱為代數余子式，記作：

一個 n 階方陣的行列式等于任意行/列的元素與對應的代數余子式乘積之和，即：

4.主子式與順序主子式

在 n 階行列式中，選取 k 個行號，再選取與行號相同的 k 個列號，則有行列均為 k 個的行列式即為 n 階行列式的 k 階主子式，簡單來說，即在 n 階行列式中，選取的 k 個行列號相同的行、列的交匯處的元素組成的行列式

在 k 階行列式中，由 1~k 行和 1~k 列組成的子式，即為 n 階行列式的 k 階順序主子式

5.行列式的性質

互換矩陣的兩行(列)，行列式變號

如果矩陣有兩行(列)完全相同，則行列式為 0

如果矩陣的某一行(列)中的所有元素都乘以同一個數 k，新行列式的值等于原行列式的值乘上數 k
推論：如果矩陣的某一行(列)中的所有元素都有一個公因子 k，則可以把這個公因子 k 提到行列式求和式的外面

如果矩陣有兩行(列)成比例(比例系數k)，則行列式的值為 0

如果把矩陣的某一行(列)加上另一行(列)的 k 倍，則行列式的值不變

6.主子式的值

對于一個主子式的值，可以根據其定義算出：

其中 P 為 1~n 的一個排列，τ(P) 為排列 P 的逆序對數，求和式的每一項可以看做在矩陣中選出 n 個數，使得他們的行列都不重合，顯然，求和式共 n！項，根據定義求值的時間復雜度是 O(n!) 階的，因此必須根據行列式的性質進行優化。

由于對于任意一個上(下)三角矩陣，其行列式的值為對角線的乘積。

因此可根據性質 5，可采用高斯消元的方法，將矩陣消為一個上三角矩陣后，求出對角線的積，即為該矩陣的行列式的值，時間復雜度為 O(n^3)

如果要求的矩陣不允許出現實數，且需要取模，那么采用輾轉相除的高斯消元法，時間復雜度多出一個 O(logN)

int f[N][N];//n階矩陣 int gauss(int n){//主子式的值int res=1;for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚舉主對角線上第i個元素for(j=i+1;j<=n-1;j++){//枚舉剩下的行while(f[j][i]){//輾轉相除t= f[i][i]/f[j][i];for(int k=i;k<=n-1;k++)//轉為倒三角f[i][k]=(f[i][k]-t*f[j][k]+MOD)%MOD;swap(f[i],f[j]);//交換i、j兩行res=-res;}}res=(res*f[i][i])%MOD;}return (res+MOD)%MOD; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数 —— 矩阵的行列式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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