图论 —— 二分图 —— KM 算法
【原理】
KM 算法是用于求帶權二分圖的最優匹配的算法，其時間復雜度為 O(N^3)。
1.首先選擇頂點數較少的為 X 部（左點集），初始時對 X 部的每一個頂點設置頂標，頂標的值為該點關聯的最大邊的權值，Y 部（右點集）的頂點頂標為 0。
2.對于 X 部中的每個頂點，在相等子圖中利用匈牙利算法找一條增廣路徑，如果沒有找到，則修改頂標，擴大相等子圖，繼續找增廣路徑。
3.當 X 部的每個點都找到增廣路徑時，此時意味著每個點都在匹配中，即找到了該二分圖的完全匹配。該完全匹配即為二分圖的最優匹配。
【有關概念】
1）相等子圖：由于每個頂點有一個頂標，如果選擇邊權等于兩端點的頂標之和的邊，它們組成的圖稱為相等子圖。
2）頂標：每個點的頂標為該點關聯的最大邊的權值。
【頂標的修改】
如果從 X 部中的某個點 Xi 出發在相等子圖中沒有找到增廣路徑，則需要修改頂標。
如果沒有找到增廣路徑，則一定找到了許多條從 Xi 出發并結束于 X 部的匹配邊與未匹配邊交替出現的路徑，即交錯路。
將交錯路中 X 部的頂點頂標減去一個值 d，交錯路中屬于 Y 部的頂點頂標加上一個值 d，那么會發現：
- 兩端都在交錯路中的邊（i,j），其頂標和沒有變化，即：其原屬于相等子圖，現仍屬于相等子圖。
- 兩端都不在交錯路中的邊（i,j），其頂標也沒有變化，即：其原來屬于（或不屬于）相等子圖，現仍屬于（或不屬于）相等子圖。
- X 端不在交錯路中，Y 端在交錯路中的邊（i,j），其頂標和會增大，即：其原來不屬于相等子圖，現仍不屬于相等子圖。
- X 端在交錯路中，Y 端不在交錯路中的邊（i,j），其頂標和會減小，即：其原來不屬于相等子圖，現可能進入相等子圖，從而使相等子圖得到擴大。
修改頂標的目的就是要擴大相等子圖，為保證至少有一條邊進入相等子圖，可以在交錯路的邊中尋找頂標和與邊權之差最小的邊，也即前述的 d 值。
將交錯路中屬于 X 部的頂點減去 d，交錯路中屬于 Y 部的頂點加上 d，則可以保證至少有一條邊擴充進入相等子圖。
【相等子圖的性質】
1）任意時刻，相等子圖的 最大權匹配 ≤ 相等子圖的頂標和
2）任意時刻，相等子圖的 頂標和=所有頂點的頂標和
3）擴充相等子圖后，相等子圖的頂標和會減小
4）相等子圖的 最大匹配=原圖的完全匹配 時，匹配邊的權值和=所有頂點的頂標和，此匹配即為最優匹配
【實現】
1.最優匹配
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #define INF 0x3f3f3f3f #define N 1001 int n,m;//x、y中結點個數，下標從1開始 int G[N][N];//邊權值矩陣 int Lx[N],Ly[N];//x、y中每個點的期望值 bool visX[N],visY[N];//標記左右點集是否已被訪問過 int linkX[N],linkY[N];//linkX[i]表示與X部中點i匹配的點,linkY[i]表示與Y部中點i匹配的點,-1時表示無匹配 bool dfs(int x){visX[x]=true;for(int y=1;y<=m;y++){if(!visY[y]){int temp=Lx[x]+Ly[y]-G[x][y];if(temp==0){//不在交替路中visY[y]=true;//放入交替路if(linkY[y]==-1 || dfs(linkY[y])){//如果是未匹配點,說明交替路是增廣路linkX[x]=y;//交換路徑linkY[y]=x;return true;//返回成功}}}}return false;//不存在增廣路 } void update(){int minn=INF;for(int i=1;i<=n;i++){//找出邊權與頂標和的最小的差值if(visX[i]){for(int j=1;j<=m;j++){if(!visY[j]){minn=min(minn,Lx[i]+Ly[j]-G[i][j]);}}}}for(int j=1;j<=n;j++)//將交錯路中X部的點的頂標減去minnif(visX[j])Lx[j]-=minn;for(int j=1;j<=m;j++)//將交錯路中Y部的點的頂標加上minnif(visY[j])Ly[j]+=minn; } int KM(){//更新理想值,納入更多的邊memset(linkX,-1,sizeof(linkX));memset(linkY,-1,sizeof(linkY));memset(Lx,0,sizeof(Lx));memset(Ly,0,sizeof(Ly));for(int i=1;i<=n;i++)//更新理想值for(int j=1;j<=m;j++)Lx[i]=max(Lx[i],G[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++){while(true){memset(visX,false,sizeof(visX));memset(visY,false,sizeof(visY));if(dfs(i))break;elseupdate();}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(linkY[i]!=-1)//若存在邊ans+=G[linkY[i]][i];//統計邊權和return ans; }int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&G[i][j]);printf("%d\n",KM());}return 0; }2.邊權和最小的完全匹配
使用 KM 算法只能求二分圖的最優匹配，即邊權和最大的完全匹配，?這里有一個技巧，就是將所有的邊權取負，再進行 KM 算法，得到的解取負就是邊權和最小的完全匹配
假設存在一個最優解 res，是所有解中花費最小的，那么 -res 自然是所有花費中最大的解，當將所有邊權取負后，用 KM 算法得到的最優匹配必然是那個花費最大的解，取負后就是所需的最小邊權值的解
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #define INF 0x3f3f3f3f #define N 1001 int n,m;//x、y中結點個數，下標從1開始 int G[N][N];//邊權值矩陣 int Lx[N],Ly[N];//x、y中每個點的期望值 bool visX[N],visY[N];//標記左右點集是否已被訪問過 int linkX[N],linkY[N];//linkX[i]表示與X部中點i匹配的點,linkY[i]表示與Y部中點i匹配的點,-1時表示無匹配 bool dfs(int x){visX[x]=true;for(int y=1;y<=m;y++){if(!visY[y]){int temp=Lx[x]+Ly[y]-G[x][y];if(temp==0){//不在交替路中visY[y]=true;//放入交替路if(linkY[y]==-1 || dfs(linkY[y])){//如果是未匹配點,說明交替路是增廣路linkX[x]=y;//交換路徑linkY[y]=x;return true;//返回成功}}}}return false;//不存在增廣路 } void update(){int minn=INF;for(int i=1;i<=n;i++){//找出邊權與頂標和的最小的差值if(visX[i]){for(int j=1;j<=m;j++){if(!visY[j]){minn=min(minn,Lx[i]+Ly[j]-G[i][j]);}}}}for(int j=1;j<=n;j++)//將交錯路中X部的點的頂標減去minnif(visX[j])Lx[j]-=minn;for(int j=1;j<=m;j++)//將交錯路中Y部的點的頂標加上minnif(visY[j])Ly[j]+=minn; } int KM(){//更新理想值,納入更多的邊memset(linkX,-1,sizeof(linkX));memset(linkY,-1,sizeof(linkY));memset(Lx,0,sizeof(Lx));memset(Ly,0,sizeof(Ly));for(int i=1;i<=n;i++)//更新理想值for(int j=1;j<=m;j++)Lx[i]=max(Lx[i],G[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++){while(true){memset(visX,false,sizeof(visX));memset(visY,false,sizeof(visY));if(dfs(i))break;elseupdate();}}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(linkY[i]!=-1)ans+=G[linkY[i]][i];return ans; }int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&G[i][j]);G[i][j]=-G[i][j];printf("%d\n",-KM());}return 0; }3.最小有向環覆蓋權值和
若原圖能由多個不相交的有向環覆蓋，那么二分圖一定存在完全匹配，比如：原圖中有向環為 1-2-3-1，則二分圖的完全匹配就是 1-2'，2-3'，3-1'
由于有向環覆蓋對應一個二分圖的完全匹配，該完全匹配的權值對應有向環覆蓋的權值，因此原圖權值最大的有向環匹配就是二分圖最優匹配的值
要求最小權值和，因此將邊的權值全部取負，再進行計算，最后結果再取負即可
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #define INF 0x3f3f3f3f #define N 1001 int n,m; int G[N][N]; int Lx[N],Ly[N]; bool visX[N],visY[N]; int linkX[N],linkY[N]; bool dfs(int x){visX[x]=true;for(int y=1;y<=m;y++){if(!visY[y]){int temp=Lx[x]+Ly[y]-G[x][y];if(temp==0){visY[y]=true;if(linkY[y]==-1 || dfs(linkY[y])){linkX[x]=y;linkY[y]=x;return true;}}}}return false; } void update(){int minn=INF;for(int i=1;i<=n;i++)if(visX[i])for(int j=1;j<=m;j++)if(!visY[j])minn=min(minn,Lx[i]+Ly[j]-G[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++)if(visX[i])Lx[i]-=minn;for(int i=1;i<=m;i++)if(visY[i])Ly[i]+=minn; } int KM(){memset(linkX,-1,sizeof(linkX));memset(linkY,-1,sizeof(linkY));for(int i=1;i<=n;i++){Lx[i]=Ly[i]=0;for(int j=1;j<=m;j++)Lx[i]=max(Lx[i],G[i][j]);}for(int i=1;i<=n;i++){while(true){memset(visX,false,sizeof(visX));memset(visY,false,sizeof(visY));if(dfs(i))break;elseupdate();}}int ans=0;for(int i=1;i<=m;i++){if(G[linkY[i]][i]==-INF){return 1;}ans+=G[linkY[i]][i];}return ans; } int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)){for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)G[i][j]=-INF;while(m--){int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);G[x][y]=max(G[x][y],-w);//處理重邊G[y][x]=G[x][y];//無向圖}int res=-KM();if(res==-1)printf("NO\n";elseprintf("%d\n",res);}return 0; }4.優先用原匹配邊構建的最優匹配
最優匹配可以直接使用 KM 模版，但是要在原匹配邊的基礎上使得改變的邊最少，可以進行如下的處理：
左邊點集有 n?個點，且 n<=m，則最優匹配必有 n 條邊，讓原圖中的每條邊的權值都乘以 (n+1)，即擴大 n+1 倍，且若某邊本來就是原匹配用的其中一條邊，那么該邊權值在擴大 n+1 倍后，再加1。
因此任意一條邊的權值只能是 n+1 的倍數 或 (n+1 的倍數)+1，要在這種權值的邊中選出 n 條來，最終得到的最優權值和 ans? 除以 n+1，即為最優匹配解，因此就算是所有邊均使用原先的匹配，也即在所有權值的基礎上加了 n 個 1，此時除以 n+1，減去原匹配的值就是最優匹配比原匹配增長的值
如果在新二分圖中求出的權值和為 n+1 的倍數，則說明最優匹配中一條老邊都沒有復用。
綜上：所有邊權值*(n+1)，老邊再 +1，最終?ans%(n+1) 就是復用舊邊的條數，ans/(n+1)-oldVal 就是最優匹配比原匹配增長的值。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #define INF 0x3f3f3f3f #define N 1001 int n,m; int G[N][N]; int Lx[N],Ly[N]; bool visX[N],visY[N]; int linkX[N],linkY[N]; bool dfs(int x){visX[x]=true;for(int y=1;y<=m;y++){if(!visY[y]){int temp=Lx[x]+Ly[y]-G[x][y];if(temp==0){visY[y]=true;if(linkY[y]==-1 || dfs(linkY[y])){linkX[x]=y;linkY[y]=x;return true;}}}}return false; } void update(){int minn=INF;for(int i=1;i<=n;i++)if(visX[i])for(int j=1;j<=m;j++)if(!visY[j])minn=min(minn,Lx[i]+Ly[j]-G[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++)if(visX[i])Lx[i]-=minn;for(int i=1;i<=m;i++)if(visY[i])Ly[i]+=minn; } int KM(){memset(linkX,-1,sizeof(linkX));memset(linkY,-1,sizeof(linkY));for(int i=1;i<=n;i++){Lx[i]=Ly[i]=0;for(int j=1;j<=m;j++)Lx[i]=max(Lx[i],G[i][j]);}for(int i=1;i<=n;i++){while(true){memset(visX,false,sizeof(visX));memset(visY,false,sizeof(visY));if(dfs(i))break;elseupdate();}}int ans=0;for(int i=1;i<=m;i++)if(linkY[i]!=-1)ans+=G[linkY[i]][i];return ans; } int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&(n+m)){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&G[i][j]);G[i][j]=G[i][j]*(n+1);//每條邊乘以(n+1)}}int oldVal=0;//記錄原匹配權值和for(int i=1;i<=n;i++){int j;scanf("%d",&j);oldVal+=(G[i][j]/(n+1));//累計原匹配權值G[i][j]++;//老邊+1}int ans=KM();int v1=ans/(n+1);//最優匹配的權值和int v2=v1-oldVal;//最優匹配比原匹配相比多的權值數int v3=ans%(n+1);//最優匹配使用的老邊數int v4=n-v3;//最優匹配使用的新邊數printf("%d\n",v1);printf("%d\n",v2);printf("%d\n",v3);printf("%d\n",v4);}return 0; }?
總結
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