【定義】

對正整數 n，歐拉函數是小于等于 n 的數中與 n 互質的數的個數，記作：

例如：，因為 1、3、5、7 均與 8 互質。

【性質】

1）若 n 為一素數 p，則：

2）若 n 為一素數 p 的冪次?，則：

例如：要求?，由于 16=2*2*2*2，故?

3）若 n 為任意兩個互質的數 a、b 的積，則：

例如：要求?，由于 40=5*8，且 5、8 互質，所以?

4）設??為 正整數 n 的素數冪乘積表達式，則：

5）若?，則：

6）若?，則：

7）前 n 個數的歐拉函數的和為：

【求法】

1.一般方法

求一個數 x 的歐拉函數

int Euler(int x) {int res=x;for(int i=2;i<(int)sqrt(x*1.0)+1;i++){if(x%i==0){res=res/i*(i-1);while(x%i==0)/// 保證i一定是素數x/=i;}}if(x>1)res=res/x*(x-1);return res; }

2.遞推求法

打表取 1 到 N 的所有歐拉函數并存在數組 phi 中

int phi[N]; void Euler() {for(int i=1;i<=N;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=N;i+= 2)phi[i]/=2;for(int i=3;i<=N;i+= 2){if(phi[i]==i){for(int j=i;j<=N;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}} }

3.歐拉函數線性篩法

該算法可在線性時間內篩素數的同時求出所有數的歐拉函數。

如要求一個數的歐拉函數，可以用歐拉函數性質直接求出，但是如果要求前 n 個數的歐拉函數，可采用線性時間的方法篩選歐拉函數值，完成打表。

int phi[N],prime[N]; bool vis[N]; void Euler(int n) { int cnt=0;phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!vis[i]) {prime[++cnt]=i;//篩素數的時先判斷i是否是素數 phi[i]=i-1;//當i是素數時phi[i]=i-1 }for(int j=1;j<=cnt;j++){if(i*prime[j]>n)break;vis[i*prime[j]]=1;//確定i*prime[j]不是素數if(i%prime[j]==0)//看prime[j]是否是i的約數 { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//其prime[j]-1就是phi[prime[j]]，利用了歐拉函數的積性 } } }

【例題】?

Relatives（POJ-2407）(一般求法)：點擊這里

Farey Sequence（POJ-2478）(遞推求法)：點擊這里

Visible Lattice Points（POJ-3090）(線性篩法)：點擊這里

小a與黃金街道（2019?？秃偎惴ɑA集訓營 Day1-D）(一般求法+公式推導)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 欧拉函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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