【概述】

所謂分塊，即對于一個長度為 n 的序列，設塊的大小為 S，從序列的第一個元素起，每 S 個元素被分成一塊，若剩余的元素不足 S 個，令他們組成一塊。經過分塊后的數組，稱為塊狀數組，在塊狀數組的基礎上加以擴展，即可得到塊狀鏈表。

在一個區間操作時，完整包含于區間的塊稱為整塊，只有部分包含于區間的塊，稱為不完整的塊，不完整的塊實質上行即為區間左右端點所在的兩個塊。

在許多區間問題中，使用樹型結構，如：樹狀數組、線段樹等會更加優秀，但當所需的某些信息無法快速合并時，就只能使用分塊，例如：詢問一個區間的眾數

需要注意的是，利用來解決的問題，大部分都是要求強制在線的，此外，在時間復雜度上：樹狀數組?> 線段樹 > 塊狀數組(分塊)

但三者各有優劣：

• 樹狀數組：代碼簡單、常數小
• 線段樹：代碼復雜、功能強大、常數大
• 塊狀數組：代碼復雜、常數大、能維護一些難以快速合并的數據

【基本原理】

從時間復雜度來考慮，一般來說，分塊長度為 sqrt(n)，那么，初始化時有：

int block,sum;//block為塊的長度,sum為塊的個數 int a[N];//存放數列元素 int pos[N],tag[N];//pos記錄第i個元素在第幾個塊中,tag為操作標記 int ans[N];//維護整塊和 void init(){//初始化block=(int)sqrt(n) //塊的長度sum=n/block;//塊數if(n%block)sum++;for(int i=1;i<=n;i++)//第i個元素在第幾塊中pos[i]=(i-1)/block+1; }

對于區間查詢，有三種情況：

詢問區間 [x,y] 中，x 不是塊的左邊界，y 也不是塊的右邊界

詢問區間 [x,y] 中，x 不是塊的左邊界，y 是塊的右邊界

詢問區間 [x,y] 中，x 是塊的左邊界，y 不是塊的右邊界

由于可以預處理每一塊的值，因此對于一塊來說，查詢的時間復雜度是 O(1) 的，對于多出來的邊角料的部分總和不會超過 2*sqrt(n)，基于這個時間復雜度，進行暴力求解，可以發現對于第一種情況，q?次查詢的復雜度為 O(q*sqrt(n))，對于第二、三中情況，完全可以當成情況 1 來處理

對于一個塊的左邊界，可以求出上一個塊的右邊界 (pos[x]-1)*block，那么 +1 后就是這個塊的左邊界，即：(pos[x]-1)*block+1

因此，在每次詢問時，第 i 個元素 a[i] 處于第 (i-1)/sqrt(n)+1 塊，其左端點為 (i-1)*sqrt(n)+1，右端點為 min(i*sqrt(n),n)，返回元素的值再加上其所在塊的標記即可。

int block,sum;//block為塊的長度,sum為塊的個數 int a[N];//存放數列元素 int pos[N],tag[N];//pos記錄第i個元素在第幾個塊中,tag為操作標記 int ans[N];//維護整塊和 int query(int L,int R){for(int i=L;i<=min(R,pos[L]*block);i++)//處理左邊角料//do somethingfor(int i=(pos[R]-1)*block+1;i<=R;i++)//處理右邊角料//do somethingfor(int i=pos[L]+1;i<=pos[R]-1;i++)//處理中間k塊//do something }

對于修改操作，與查詢操作一樣，同樣分成三部分，對于邊角料暴力修改 a[i]，對于每一塊，修改每一塊的標記值 tag[pos[i]]，那么，對于 m 次修改，總時間復雜度為 O(m*sqrt(n))?

int block,sum;//block為塊的長度,sum為塊的個數 int a[N];//存放數列元素 int pos[N],tag[N];//pos記錄第i個元素在第幾個塊中,tag為操作標記 void change(int x){//do something } void update(int L,int R,int x){for(int i=L;i<=min(R,pos[L]*block);i++)//處理左邊角料,對a[i]進行操作change(x);if(pos[L]!=pos[R])//存在右區間才遍歷，防止重復計算for(int i=(pos[R]-1)*block+1;i<=R;i++)//處理右邊角料,對a[i]進行操作change(x);for(int i=pos[L]+1;i<=pos[R]-1;i++)//處理中間k塊,對tag[i]進行操作change(x); }

?而對于整塊的預處理，即使每個塊暴力進行對 ans[i] 的預處理，時間復雜度也只有 O(n)

int ans[N];//維護整塊 void work(int L,int R,int x){int start=0;for(int i=L;i<=R;i++)//do something with startans[x]=start;//整塊的標記 }int mian(){...for(int i=1;i<=sum;i++)//傳入塊的左右邊界與編號work((i-1)*block+1,i*block,i);...}

【模版&例題】

模版原理：分塊九講

• 數列分塊入門 1（LibreOj-6277）(區間加法，單點詢問)：點擊這里
• 數列分塊入門 2（LibreOj-6278）(區間加法，詢問區間內小于某個值 x 的元素個數)：點擊這里
• 數列分塊入門 3（LibreOj-6279）(區間加法，詢問區間內小于某個值 x 的前驅)：點擊這里
• 數列分塊入門 4（LibreOj-6280）(區間加法，詢問區間和)：點擊這里
• 數列分塊入門 5（LibreOj-6281）(區間開方，詢問區間和)：點擊這里
• 數列分塊入門 6（LibreOj-6282）(單點插入，單點詢問)：點擊這里
• 數列分塊入門 7（LibreOj-6283）(區間乘法與加法，單點詢問)：點擊這里
• 數列分塊入門 8（LibreOj-6284）(詢問區間某值個數，區間賦值)：點擊這里
• 數列分塊入門 9（LibreOj-6285）(詢問區間眾數)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性结构 —— 分块算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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