【概述】

2-3 樹是一種多路查找樹，其滿足于以下性質(zhì)：

• 每個結(jié)點(diǎn)都具有兩個孩子或三個孩子，具有兩個孩子的結(jié)點(diǎn)稱為 2 結(jié)點(diǎn)，具有三個孩子的結(jié)點(diǎn)稱為 3 結(jié)點(diǎn)
• 2 結(jié)點(diǎn)包含一個元素和兩個孩子，左子樹包含元素小于根結(jié)點(diǎn)元素，右子樹包含元素大于根結(jié)點(diǎn)元素
• 3 結(jié)點(diǎn)包含一大一小兩個元素和三個孩子，左子樹包含較小元素，右子樹包含較大元素，中間子樹包含介于兩者之間的元素
• 所有的葉結(jié)點(diǎn)都在同一層

如上圖，12、48、10、15、24、31 都是 2 結(jié)點(diǎn)，{18,33}、{23,30}、{20,21}、{45,47}、{50,52} 都是 3 結(jié)點(diǎn)。

當(dāng)所有的葉結(jié)點(diǎn)都處于同一層時，那么這棵樹就是樹高平衡的，可見 2-3 樹是樹高平衡的，其能夠以相對較低的代價保持樹高平衡。

此外，容易從 2-3 樹的定義推出樹的葉結(jié)點(diǎn)個數(shù)與樹的深度間的關(guān)系：

• 一個高度為 k 的 2-3 樹至少有 2^(k-1) 個葉結(jié)點(diǎn)，此時每個分支結(jié)點(diǎn)都有 2 個孩子，形成一棵滿二叉樹的形狀
• 一個高度為 k 的 2-3 樹最多有 3^(k-1) 個葉結(jié)點(diǎn)，此時每個分支結(jié)點(diǎn)都有 3 個孩子，形成一棵滿三叉樹的形狀

【查找】

在 2-3 樹中，查找一個關(guān)鍵碼的過程類似于在二叉排序樹中的查找。

在 2-3 樹中查找給定值 k 的過程是：

若 root 是空樹，查找失敗

若 k=root->data，查找成功

對于 2 結(jié)點(diǎn)，若 k<root->data，在 root 的左子樹進(jìn)行查找；若 k>root->data，在 root 的右子樹進(jìn)行查找

對于 3 結(jié)點(diǎn)，若 k<root->smallData，在 root 的左子樹進(jìn)行查找；若 k>root->bigData，在 root 的右子樹進(jìn)行查找；否則，在 root 的中間子樹進(jìn)行查找

上述過程一直持續(xù)到 k 被找到或者待查找的子樹為空，若待查找的子樹為空，則查找失敗。值得注意的是，當(dāng)查找失敗時，恰好找到了以 k 為鍵值的新結(jié)點(diǎn)在二叉排序樹中的插入位置。

以下圖為例，要如果查找 24，首先查找根結(jié)點(diǎn)，由于 24 大于 smallData=18，小于 bigData 33，那么進(jìn)入中間子樹，在下一層中，同樣進(jìn)入中間分支，到達(dá)包含 24 的葉結(jié)點(diǎn)。

【插入】

在 2-3 樹中，插入一個關(guān)鍵碼的過程類似于在二叉排序樹中的插入，新紀(jì)錄同樣是插入到葉結(jié)點(diǎn)中。

插入過程如下：

1.對于空樹，直接插入一個 2 節(jié)點(diǎn)

2.找到被插入記錄應(yīng)該插入的葉結(jié)點(diǎn)

3.如果應(yīng)插入位置的葉結(jié)點(diǎn)是 2 結(jié)點(diǎn)，直接將新紀(jì)錄插入，將 2 結(jié)點(diǎn)升級為 3 結(jié)點(diǎn)

4.如果應(yīng)插入位置的葉結(jié)點(diǎn)是 3 結(jié)點(diǎn)，則需將其分裂，拆分為兩個 2 結(jié)點(diǎn)

1）設(shè)要插入的葉結(jié)點(diǎn)為 L，創(chuàng)建一個新結(jié)點(diǎn) L'

2）L 得到三個關(guān)鍵碼中最小的一個，L' 得到三個關(guān)鍵碼中最小的一個

3）進(jìn)行一次提升：將中間的關(guān)鍵碼與一個指向 L' 的指針傳回父結(jié)點(diǎn)，并將被提升的關(guān)鍵碼插入父結(jié)點(diǎn)

4）如果父結(jié)點(diǎn)為 2 結(jié)點(diǎn)，那么重復(fù)步驟 3

5）如果父結(jié)點(diǎn)為 3 結(jié)點(diǎn)，那么重復(fù)步驟 4 的分裂-提升過程

例如：在下圖中插入 14、55

?

1）插入 14 時：從根結(jié)點(diǎn)開始查找，到達(dá)存儲 15 的葉結(jié)點(diǎn)，其是一個 2 結(jié)點(diǎn)，直接將 14 插入即可

2）插入 55 時：從根結(jié)點(diǎn)開始查找，到達(dá)存儲 {50,52} 的結(jié)點(diǎn)，其是一個 3 結(jié)點(diǎn)，需要進(jìn)行分裂，加入 55 后，三個關(guān)鍵碼的值為 50、52、55，其中，令中值 52 提升，小值 50 與大值 55 作為父結(jié)點(diǎn)的葉結(jié)點(diǎn)

【刪除】

在 2-3 樹中，刪除一個結(jié)點(diǎn)與插入一個結(jié)點(diǎn)相反。

其過程為：

1.所刪除的元素位于非葉子的分支結(jié)點(diǎn)時，將樹按中序遍歷后得到的前驅(qū)或后繼元素，用其補(bǔ)位即可。

2.所刪除的元素位于?3 結(jié)點(diǎn)時，在該結(jié)點(diǎn)刪除該元素即可，不會影響整棵樹的結(jié)構(gòu)。

3.所刪除的元素位于 2 結(jié)點(diǎn)時，此時分為四種情況：

1）2 結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)是 3 結(jié)點(diǎn)：此時將 3 結(jié)點(diǎn)進(jìn)行拆分，根據(jù)刪除要刪除的元素的大小，將被拆分的點(diǎn)與 3 結(jié)點(diǎn)的子樹進(jìn)行合并

?

2）2 結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)是 2 結(jié)點(diǎn)，且擁有一個 3 結(jié)點(diǎn)的右孩子：將父結(jié)點(diǎn)與右孩子一起進(jìn)行左旋，令父結(jié)點(diǎn)的右孩子的較小值成為新的父結(jié)點(diǎn)，原先的父結(jié)點(diǎn)成為新的左孩子，原先的右孩子的較大值不做改變

3）2 結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)是 2 結(jié)點(diǎn)，且擁有一個 2 結(jié)點(diǎn)的右孩子：先在不破壞 2-3 樹的性質(zhì)的前提下，將 2 結(jié)點(diǎn)的右孩子變?yōu)?3 結(jié)點(diǎn)的右孩子，然后刪除要刪除的元素，并將剩下的三個點(diǎn)進(jìn)行左旋調(diào)整。

4）當(dāng)前樹是一個滿二叉樹：此時刪除任意一個結(jié)點(diǎn)都會破壞 2-3 樹的性質(zhì)，需要考慮在不改變 2-3 樹的順序的情況下，將 2-3 樹的層次減少一層。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 索引 —— 2-3 树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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